¿Cómo se demuestra que $\mathbb{Z}[x]/(x^2-29) \cong \{a+b\sqrt{29}|a,b \in \mathbb{Z}\}$ ?

Question

$\mathbb{Z}[x]/(x^2-29) \cong \{a+b\sqrt{29}|a,b \in \mathbb{Z}\}$ .

Entiendo lo que $\mathbb{Z}[x]/(x^2-29)$ significa: que todo polinomio que pueda ser factorizado por $(x^2-29)$ es igual a cero. Sin embargo, no veo cómo demuestras ese isomorfismo.

Answer 1

Nota: $\mathbb{Z}[x]/(x^2-29)$ significa algo más que "todo polinomio divisible por $x^2-29$ es igual a $0$ ". Se trata de un anillo cociente: los elementos son clases de equivalencia de polinomios; dos polinomios están en la misma clase si y sólo si su diferencia es un múltiplo de $x^2-29$ . Tiene una estructura de anillo operando sobre los representantes. Etc.

Por la propiedad universal de los anillos polinómicos, si se tiene una incrustación $\mathbb{Z}\hookrightarrow R$ en un anillo $R$ y se especifica un $a$ en $R$ entonces se obtiene un homomorfismo de anillo $\varphi\colon\mathbb{Z}[x]\to R$ que mapea $x$ a $a$ . (De hecho, dado un homomorfismo de anillo $\varphi\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ y un elemento $a\in\mathbb{R}$ que conmuta con $\varphi(b)$ para cada $b\in\mathbb{Z}$ el homomorfismo $\varphi$ se extiende a todos los $\mathbb{Z}[x]$ cartografía $x$ a $b$ ).

Aquí, consideremos la incrustación natural de $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{R}$ y que $a=\sqrt{29}$ . Entonces se obtiene automáticamente un homomorfismo $$\varphi\colon \mathbb{Z}[x]\to \mathbb{R}$$ que actúa como la identidad en los enteros, y mapea $x$ a $\sqrt{29}$ .

Por el Primer Teorema del Isomorfismo, la imagen de este homomorfismo es isomorfa al cociente $$\frac{\mathbb{Z}[x]}{\mathrm{ker}(\varphi)}.$$

Ahora es fácil comprobar que la imagen contiene $\{a+b\sqrt{29}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ y utilizando el hecho de que $\sqrt{29}^n$ es un número entero o un número entero multiplicado por $\sqrt{29}$ la inclusión inversa también es válida. Así que la imagen es $\{a+b\sqrt{29}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ .

Ahora sólo hay que verificar que el núcleo del mapa es exactamente el ideal generado por $x^2-29$ . Es fácil ver que cualquier múltiplo de $x^2-29$ se asigna a $0$ . Supongamos ahora que $p(x)$ se asigna a cero. Dividiendo por $x^2-29$ podemos escribir $$p(x) = q(x)(x^2-29) + r(x)$$ donde $q(x),r(x)\in\mathbb{Z}[x]$ y $r(x)=a+bx$ para algunos enteros $a$ y $b$ . Por lo tanto, la imagen de $p(x)$ es igual a $a+b\sqrt{29}$ que es igual a $0$ . Si $b\neq 0$ Entonces, concluiríamos que $\sqrt{29}$ es racional, lo cual es imposible. Por lo tanto, $b=0$ Por lo tanto $a=0$ . Es decir, $p(x)$ es un múltiplo de $x^2-29$ .

Así, el Primer Teorema del Isomorfismo muestra que $$\frac{\mathbb{Z}[x]}{(x^2-29)} \cong \{a+b\sqrt{29}\mid a,b\in\mathbb{Z}\},$$ donde este último tiene la estructura de anillo heredada de $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Sugerencia: Considere el homomorfismo $\varphi: \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[\sqrt{29}]$ dado por $\varphi(f) = f(\sqrt{29})$ . Mostrar $\varphi$ es suryente y tiene un núcleo $(x^2-29)$ y utilizar el primer teorema de isomorfismo. Por último, demuestre que $\mathbb{Z}[\sqrt{29}] \simeq \{a+b\sqrt{29} | a,b \in \mathbb{Z}\}$ .