Ayudar en la solución de $xy'' -(1+x)y' + y = x^{2}e^{x}$

Question

Alguien puede ayudar en la solución del siguiente problema: $$x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} -(1+x) \cdot \frac{dy}{dx} + y = x^{2}\cdot e^{x}$$

He ido a través de algunos métodos de donde puedo reducir este a la forma estándar de $y" + Py' + Qy = f(x)$ pero no entiendo cómo resolver este problema.

Answer 1

He aquí una sugerencia:

Deje $z(x)=y'(x)-y(x)$. Entonces la ecuación se convierte en $x z'(x)-z(x)=x^2 e^x$, que se puede resolver usando el factor de integración. Una vez que sepas $z$, usted puede seguir adelante y resolver para $y$.

Answer 2

La forma de la ecuación sugiere que el problema puede ser simplificado mediante la búsqueda de una solución de la forma $y=e^xu$. Por qué? Debido a que el plazo $e^x$ va a ser un factor común en todos los términos en el lado derecho, y dividiendo por producirá una nueva ecuación que esperamos sean más fáciles de resolver. En este caso resulta que esta nueva ecuación es $$ x\,u"+(x-1)u'=x^2, $$ que de hecho es fácil de resolver.