Si $g=x_1+2x_2+3x_3, s_1=x_1+x_2+x_2, s_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$$s_3=x_1x_2x_3$ , escribir $x_1, x_2$ $x_3$ en función de $g, s_1, s_2$$s_3$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estoy bastante seguro de una respuesta completa es demasiado larga para este formato, pero voy a dar un bosquejo de mi enfoque.
En primer lugar, mientras que se podría tratar de encontrar relaciones con poderes de $g$, la contabilidad será terrible. Para intentar mejorar esto, en lugar de considerar $$ (g-2\sigma_1)^2 = (x_3-x_1)^2 = x_3^2+x_1^2 - 2x_1x_3 $$ Este elemento es fijado por la Galois acción intercambiando $x_1$$x_3$. De ello se desprende que este elemento genera los puntos fijos de esta acción, y por lo tanto se puede, en teoría, escribir $x_2$ en términos de este elemento. El polinomio mínimo para este elemento es el grado $3$ sobre la base de campo de $\Bbb Q(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$, por lo que no son simétricas polinomios $F_1, F_2, F_3, F_4$ tal que $$ x_2 = \frac{F_1 + (g-2\sigma_1)^2F_2 + (g-2\sigma_1)^4F_3}{F_4} $$ Si podemos reescribir la deseada relación como $$ F_1 + (g-2\sigma_1)^2F_2 + (g-2\sigma_1)^4F_3 - x_2F_2 = 0 $$ vemos que podemos muy bien suponer que el $F_i$ son homogéneos. Algunos de recuento nos permite ver que debemos tener una solución en total grado $4$, ya que puede tomar arbitraria de las combinaciones lineales de los siguientes $10$ elementos: $$ \begin{array}{lll} (g-2\sigma_1)^4 & (g-2\sigma_1)^2\sigma_2 & (g-2\sigma_1)^2\sigma_1^2 \\ x_2\sigma_3 & x_2\sigma_2\sigma_1 & x_2\sigma_1^3 \\ \sigma_3\sigma_1 & \sigma_2^2 & \sigma_2\sigma_1^2\\ \sigma_1^4, \end{array} $$ y el espacio de grado-4 polinomios simétricos en $x_1$ $x_3$ $9$- dimensional, se extendió por $$ \begin{array}{llll} x_2^4 & x_1^4+x_3^4 & x_2^3(x_1+x_3) \\ x_2(x_1^3+x_3^3) & x_1x_3(x_1^2+x_3^2) & x_2^2(x_1^2+x_3^2) \\ x_1^3x_3^3 & x_2^2x_1x_3 & x_2x_1x_3(x_1+x_3) \end{array} $$ En este punto, la búsqueda de adecuados $F_i$ es de "sólo" de álgebra lineal. Después de obtener una expresión para $x_2$, usted puede obtener $x_3 = \frac{g- \sigma_1 - x_2 }{2}$, $x_1 = g-2x_2-3x_3$.
