¿Son homotópicos los mapas fuertemente cercanos?

Question

Al leer sobre varios resultados relacionados con la densidad de las funciones suaves en el espacio de las funciones continuas con topología fuerte, he tenido la impresión de que es un hecho general que para cualquier función continua $f:X\to Y$ entre variedades suaves, existe una fuerte vecindad $\mathcal U$ de $f$ que está contenida en la clase de homotopía de $f$ es decir, para cualquier $g\in\mathcal U$ existe una homotopía entre $f$ y $g$ .

También sería un resultado muy bonito en cualquier caso, pero todavía no he encontrado el hecho explicado en términos claros, ni tampoco una prueba.

Agradecería una pista o una referencia bibliográfica.

Notas:

1. Esta pregunta está estrechamente relacionada (perdón por el juego de palabras) con la pregunta ¿Los mapas cercanos son homotópicos? pero esto es diferente en el sentido de que permito vecindades fuertes arbitrarias (y los contraejemplos enumerados allí no funcionan en este contexto más general).
2. También está relacionado con una pregunta mía: ¿Son homotópicas las funciones localmente homotópicas? - Creo que podemos demostrar que hay una fuerte vecindad de $f$ que está contenida en la "clase de homotopía local" en el sentido explicado en la pregunta, utilizando la estructura convexa local de $Y$ .
3. Una idea diferente de una prueba sería mostrar que cualquier función continua tiene una vecindad contráctil en el espacio de las funciones continuas mediante algún argumento abstracto, pero no estoy seguro de los detalles técnicos de eso.

Edit: Creo que he conseguido demostrar el hecho, pero la prueba es algo larga y ahora mismo estoy bastante cansado, así que no la escribiré ahora mismo. Si alguien tiene mucha curiosidad probablemente podría dar un esquema. En cualquier caso, una referencia sería probablemente la mejor respuesta, a menos que alguien conozca una prueba sencilla de esto :)

Answer 1

Ya que pide una referencia, le doy esta

https://www.sanzytorres.es/listado.php?origen=buscador&busqueda=Topolog%EDa+Diferencial&buscar2.x=53&buscar2.y=8

Lo que se puede ver allí es (Prop. III.7.1):

Dejemos que $X\subset{\mathbb R}^m$ cualquier localmente cerrado ( $\equiv$ localmente compacto) y $Y\subset{\mathbb R}^n$ un colector liso, posiblemente con límite. Entonces las clases de homotopía (resp. homotopía propia) $[X,Y]$ son abiertos en la topología fuerte.

En cuanto a la prueba, como no conozco la suya, sólo digo que utiliza una retracción continua de un barrio "tubular" de $Y\subset{\mathbb R}^n$ en $Y$ . El límite da algunos problemas para fines diferenciables, pero no aquí.