Hay una matriz útil de identidad para esto?

Question

Supongamos que tenemos:

$$ S = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{de la matriz} \right]$$

$$ X_0 = \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l \\ \end{de la matriz} \right]$$

$$ X_1 = X_0S + \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{de la matriz} \right] \left[ \begin{matrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \\ \end{de la matriz}\right] $$

Supongamos que conocemos $[X_0^{T}X_0]^{-1}$. ¿Existe alguna matriz de identidades que nos permitirá calcular el $[X_1^{T}X_1]^{-1}$ rápidamente, en lugar de tener que aplicar una matriz de inversión del algoritmo?

Me gustaría generalizar el resultado a los casos en que $X_0$$n * m$, donde n y m pueden hacerse muy grandes.

Answer 1

$X_1$ es un rango de-$2$ perturbación de $X_0 R$ donde $R$ es la matriz de permutación $\left[\matrix{0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr}\right]$. Así que si escribimos $X_1 = X_0 R + C$, tenemos $$ X_1^T X_1 = R^T X_0^T X_0 R + C^T X_0 R + (R^T X_0^T + C^T) C$$ donde cada uno de los dos términos tiene rango en la mayoría de los $2$, y se puede aplicar el Woodbury matriz identidad doble: véase Wikipedia . Esto no va a ser muy útil en el $3 \times 4$ de los casos, pero en una generalización donde el $m$ $n$ son de lo grande que sea.