Límite de c.d.f. de Poisson ($n$) $n$ va al infinito

Question

Estoy tratando de demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X}(n)=1/2$ al $X\sim \text{Poisson}(n)$ sin éxito. Podría alguien ayudarme ?

Answer 1

Usted sabe que la variable $X_{n}$ toma un valor entre el $0$ $n$ con una probabilidad de $Pr(X_{n}\leq n)$. Si tu variables aleatorias $Y_{n}$ son independientes, entonces se cumple que $\sum_{i=1}^{n}Y_{i}\sim X \sim Poi(n)$, por lo tanto $$Pr \left(\frac{Y_{1} + Y_{2}+...+Y_{n} - n}{\sqrt{n}}\leq 0\right) = Pr\left(X_{n} \leq n \right)$$ Si a continuación, aplicar el teorema del límite central para el lado izquierdo de la expresión, verás que $$\lim_{n\to \infty} Pr \left(\frac{Y_{1} + Y_{2}+...+Y_{n} - n}{\sqrt{n}}\leq 0\right)$$ converge en distribución hacia una distribución Normal con $N(0,1)$ (). Para obtener una respuesta, usted sólo tiene que saber cuál es la probabilidad de que $P(N(0,1)) \leq 0)$