Cómo mostrar que existe una secuencia en la $[0,1]$ de manera tal que el conjunto de la acumulación de los puntos de la secuencia es $[0,1]$

Question

Esto está relacionado con la tarea, pero estoy tratando de encontrar un caso especial, primera y a ver si me puede generalizar. El problema es construir una secuencia $(x_n)$ $[0,1]$ de manera tal que la acumulación de puntos de $(x_n)$ son los puntos en el intervalo de $[0,1]$.

Estoy muy atascado y sinceramente casi no tienen idea de cómo abordar el problema. Me dio una pista para considerar la subcover formulación de compacidad para el intervalo, pero no podía identificar la forma en que me ayudaría. Intuitivamente parece que de alguna manera debe ser capaz de definir una secuencia que, en esencia, pasa a través de todo el intervalo. Por ejemplo, la secuencia de $$ (0, 1/2, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8\ldots)$$ parece tener las propiedades espero, pero no puedo activar esta intuición riguroso de las matemáticas.

Editar: Es posible unir una secuencia que consiste en la secuencia que se sabe que la acumulación de puntos? Así por ejemplo, si $a \in [0,1]$ sabemos que la secuencia $$ x_n = a - \frac{1}{n}$$ Tiene un punto de acumulación $a$. El problema es que hay infinitas $a$ a partir de la cual elegir.

Answer 1

Lo que acerca de esto?

Fracciones $a/b$ tal que $a+b=1$ y $a\le b$: $0/1$

Fracciones $a/b$ tal que $a+b=2$ y $a\le b$: $0/2$, $1/1$

Fracciones $a/b$ tal que $a+b=3$ y $a\le b$: $0/3$, $1/2$

Fracciones $a/b$ tal que $a+b=4$ y $a\le b$: $0/4$, $1/3$, $2/2$

etc.

Si usted no querrá repetir términos, usted puede agregar la condición $\gcd(a,b)=1$. Pero no olvides el $0$.

Answer 2

$$ \frac 1 2, \underbrace{{}\ \frac 1 4, \frac 3 4\ {}}_{\text{denominador}=4}, \underbrace{\frac 1 8, \frac 3 8, \frac 5 8, \frac 7 8}_{\text{denominador}=8}, \underbrace{\frac 1 {16}, \frac 3 {16}, \frac 5 {16}, \frac 7 {16}, \frac 9 {16}, \frac {11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}}_{\texto{denominador}=16}, \ldots $$

Para demostrar que todos los puntos en $x\in[0,1]$ es una acumulación punto de esta secuencia se necesita demostrar que para cada $\varepsilon>0$, no importa cuán pequeño, una de las fracciones anteriores se entre $x\pm\varepsilon$. Para eso es suficiente para demostrar que la longitud del intervalo, $2\varepsilon$, es menor que la distancia $2/2^n$ entre términos consecutivos de la secuencia. El número de $\varepsilon>0$ no puede ser un límite inferior de la seqence $1/2,1/4,1/8,1/16,\ldots$ porque $1/\varepsilon$ no puede ser una cota superior de la secuencia de $1,2,4,8,16,\ldots$. Para demostrar que, supongamos que la última secuencia tiene al menos un límite superior $a$. Algunas de alimentación de $2$ debe tener más de $a/2$ ya que de lo contrario $a/2$ sería una cota superior, entonces, ¿qué acerca de la $2$ veces que el poder de $2$? Es más que $a$ y tenemos una contradicción.