Cómo probar que el límite de $Q = [0,1]^3$ no es suave colector?

Question

Dado $Q = [0,1]^3$$\mathbb{R}^3$, ¿cómo podemos demostrar que $\partial Q$ no es suave colector en $\mathbb{R}^3$?

Puedo entender que no, porque de la línea de conexión entre el $2$ lados del cubo, pero ¿qué es una explicación formal de esto ?

Answer 1

Una manera de hacerlo es concentrarse en un vértice del cubo, decir $(0,0,0)$. Hay tres vías lisas a partir de ahí y acostado en el límite de la cubo - los bordes ( casi cualquier parametrización debe funcionar) - cuyos vectores tangente en el origen son linealmente independientes. Si esto fuera un submanifold de estos vectores deben estar en la tangente subespacio ( de dimensión$2$)$(0,0,0)$.

Eran otras que las buenas ideas en los comentarios de arriba, como en el hecho de que el límite de el cubo no es un submanifold alrededor de cualquier punto en el borde.