Normalidad marginal y normalidad conjunta

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos variables aleatorias independientes con distribución normal variables aleatorias $N(0,1)$ Si definimos una nueva variable aleatoria $Z$ tal que : $$Z = \begin{cases}X & \text{if} &XY > 0\\ -X & \text{if} & XY < 0\end{cases}$$ Demuestre que la distribución conjunta de $Z$ y $Y$ no es normal bivariada tratando de demostrar que $Z$ y $Y$ siempre tienen el mismo signo .

De hecho, podría demostrar que $Z$ y $Y$ tienen el mismo signo , ya que he demostrado que $Z$ tiene una distribución normal estándar $N(0,1)$ y por definición de $Z$ , $Z > 0 $ si $X<0$ y $Y<0$ o $X>0$ y $Y>0$ .

Pero no entendí la idea de esa prueba , por qué la distribución conjunta de $Y$ y $Z$ no será normal bivariante mientras $Y$ y $Z$ ¿tienen el mismo signo? Sé que la normalidad no implica la normalidad conjunta, sólo quiero saber la relación entre el signo de las variables aleatorias y la distribución normal bivariada conjunta?

Answer 1

Una normal bivariada, centrada en cualquier parte del plano YZ, debe existir sobre todo el plano... es decir, en los cuadrantes I, II, III y IV porque su dominio es infinito en ambas variables.

Pero para que exista en los cuadrantes II y IV, Y y Z deben tener signos opuestos. Si no pueden serlo, entonces la distribución conjunta no puede ser una normal bivariada.