La identificación de la álgebra

Question

Con el fin de resolver un oscuro (física) problema que he estado considerando cuyos detalles no son importantes, estoy en busca de elementos (estoy pensando en términos de matrices y sus productos, pero esto puede probablemente estar relajado para algo más abstracto) $A$, $B$ y $C$ que satisfacer

$C^2 = 0$, $A \cdot C + C \cdot A = I$ y $B \cdot C + C \cdot B = -A^2$

donde $I$ es el elemento de identidad (matriz) y $0$ es el elemento cero (matriz).

También pueden ser escritas de manera más sistemática, como las exigencias de la anticommutators con $C$:

$A \cdot C + C \cdot A = I$, $B \cdot C + C \cdot B = -A^2$, $C\cdot C + C \cdot C = 0$,

tal que

$\{ A,C \} = I$, $\{ B,C\} = -A^2$ y $\{C,C\} = 0$ donde $\{X,Y\} = X \cdot Y + Y \cdot X$.

Tengo poco conocimiento sobre álgebras abstractas y menos aún en su representación mediante matrices.

¿Ve interesante estructura en esto? Mi primer pensamiento fue que no podría ser de alguna manera relacionados a álgebras de Clifford.

Soy un estudiante de física y disculpas por cualquier descripción de las matemáticas que es ambigua o errónea.

Answer 1

La libre álgebra $A$ generado por tres letras $a$, $b$ y $c$ sujeto a las relaciones $$cc=0, \qquad ca=1-ac, \qquad cb=-aa-bc$$ tiene como base el conjunto de no-conmutativa monomials en las tres cartas en las que $c$ no aparece a la izquierda de la carta. Contiene el libre álgebra $B$$a$$b$, y en el hecho de $A$ es un servicio gratuito de izquierda $B$-módulo con base $\{1,c\}$. En particular, el álgebra $A$ es de infinitas dimensiones.

Supongamos que tenemos una representación del álgebra $A$ sobre un espacio vectorial $V$. Deje $K=\ker c$. Tenemos $aK\cap K=0$: si $v$ es en esta intersección, es igual a $aw$ algunos $w\in K$$cv=0$, y de ello se sigue que $v=cav+acv=caaw=aacw=0$, debido a que las relaciones implican que $c$ $aa$ viaje. Por otro lado, si $v\in V$,$v=acv+cav$$cav\in K$$cv\in K$, por lo que el $c\in aK+K$. Llegamos a la conclusión de que $V=aK\oplus K$. Como $K$ cruza el núcleo de $a$ trivialmente, el mapa de $k\in K\mapsto ak\in aK$ es un isomorfismo de espacios vectoriales, cuya inversa es $x\in aK\mapsto cx\in K$.

Tenemos $aaK\subseteq K$. El módulo de $V$ es, de hecho, completamente determinado por el lineal mapa de $\phi:x\in aK\mapsto ax\in K$. Este showws que uno puede clasificar a los módulos a través de la álgebra $B$ usando canónica de Jordan formas de tamaño de la mitad de la dimensión de $V$ (para el mapa de $aa:K\to K$). Tal vez alguien con más energía puede ver lo que sucede si se incluyen los $b$ en esto, pero no se ve primising.

Answer 2

Si desea una representación explícita en términos de matrices, puede la fuerza bruta sólo el dado de las relaciones como $2*2$ matrices y tener en cuenta que, desde que se quiso $C$ a ser un nilpotent de la matriz, existe una base tal que $C=((0,1),(0,0))$ (lo siento por la tipografía). Así que sin pérdida de generalidad se puede tomar este ser su $C$ y sólo calcular el resto da soluciones $A=((a,b),(1,-a)) B=((x,y),(-a^2-b,-x))$ si he calculado correctamente. Sin embargo, ni idea si esto te ayuda en todo.