Perdón por hacer una pregunta tan elemental, pero hace tiempo que me pregunto exactamente por esta definición. ¿Qué poder de $n$ es $\log(n)$ . Sé que es $n^\epsilon$ para una muy pequeña $\epsilon$ pero ¿qué valor tiene $\epsilon$ ¿Exactamente?
Respuestas
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No: Si $\epsilon$ es cualquier número positivo, entonces $n^{\epsilon}$ crece más rápido que $\log{n}$ . Esto puede concretarse en la afirmación
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log{n}}{n^{\epsilon}} = 0$$
para todos $\epsilon > 0$ . Para demostrarlo, basta con observar que por la regla de L'Hospital,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log{n}}{n^{\epsilon}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\epsilon n^{\epsilon - 1}} = \frac{1}{\epsilon} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\epsilon}} = 0$$
Oleg567
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Supongamos que buscamos $\varepsilon$ que $$ n^\varepsilon = \log(n). $$ Considere $n>1$ . Entonces (si $\log(n)$ es el logaritmo natural, en la base $e$ ) $$ n^\varepsilon = e^{\varepsilon\log(n)}, \qquad \log(n) = e^{\log(\log(n))}, $$ entonces potencias de $e$ deben ser iguales: $$ \varepsilon \log(n) = \log(\log(n)), $$ $$ \varepsilon = \frac{\log(\log(n))}{\log(n)}. $$
Ejemplos:
$n=10$ : $\varepsilon = 0.3622156886...$ ;
$n=10^2$ : $\varepsilon = 0.3316228421...$ ;
$n=10^3$ : $\varepsilon = 0.2797789811...$ ;
$n=10^6$ : $\varepsilon = 0.1900611565...$ ;
$n=10^9$ : $\varepsilon = 0.1462731331...$ .
Trevor Wilson
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Tal vez T. Bongers haya respondido a la pregunta que usted quería hacer, pero dada su mención de la definición de $\log$ No estoy tan seguro. Para responder literalmente a su pregunta, la función $n \mapsto \log(n)$ no es igual a la función $n \mapsto n^\epsilon$ para cualquier número $\epsilon$ (ni siquiera si $\epsilon$ es "muy pequeño"). Se trata de un tipo de función totalmente diferente, con propiedades muy distintas, y desde luego no está definida como una función de potencia.
