Empieza por considerar lo que ven las personas que te observan desde la Tierra. Nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, $c$ Así que lo más rápido que podrías llegar a Kepler 186f sería si viajaras a $c$ en cuyo caso tardaría 490 años. En la práctica, se tardaría más que eso porque hay que acelerar desde el reposo cuando se sale de la Tierra y desacelerar hasta detenerse de nuevo cuando se llega al destino.
Hasta ahora esto no es muy interesante. Lo que hace que el problema sea interesante es que los relojes de los objetos que se mueven rápidamente funcionan con lentitud debido a dilatación del tiempo . Si pudieras viajar cerca de la velocidad de la luz, el tiempo que transcurre para ti será inferior a 490 años, y de hecho puede ser mucho menos, como veremos a continuación.
Primero tomemos el caso simple en el que se viaja a una velocidad constante $v$ y no nos preocuparemos de cómo has acelerado a $v$ o cómo vas a frenar de nuevo. Llamaremos a la distancia a la estrella $d$ . Para las personas que observan desde la Tierra, el tiempo que se tarda es simplemente la distancia que se recorre dividida por la velocidad:
$$ t = \frac{d}{v} $$
Así, si la distancia es de 490 años luz y se viaja a la velocidad de la luz, el tiempo que se tarda es de sólo 490 años. Pero, ¿cuánto tiempo medirías en tu reloj de pulsera? Para hacer el cálculo correctamente hay que utilizar el Transformaciones de Lorentz pero en realidad la respuesta resulta ser muy sencilla. El tiempo que se mide, $\tau$ está dada por:
$$ \tau = \frac{t}{\gamma} $$
donde $t$ es el tiempo medido en la Tierra y $\gamma$ es el factor de Lorentz y viene dado por:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}} $$
O si quieres que se escriba la expresión completa, el tiempo que se mide es:
$$ \tau = \frac{d}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$
Para que te hagas una idea he hecho el cálculo para el viaje de 490 años luz hasta Kepler 186f y he dibujado una gráfica del tiempo que mide en función de su velocidad:
![Constant velocity]()
La línea azul es el tiempo de viaje medido en la Tierra, por lo que llega a 490 años como $v \rightarrow c$ . La línea roja es el tiempo medido en su reloj de pulsera, que va a cero como $v \rightarrow c$ .
Pero esto no es muy realista, ya que ignora la aceleración y la desaceleración. Supongamos que, en lugar de eso, viajas hasta la mitad del camino hacia la estrella con una aceleración constante, y luego te das la vuelta y viajas hasta la mitad con una desaceleración constante. Esto te permite empezar desde el reposo y terminar en reposo, y también obtienes una bonita gravedad artificial durante el viaje. Pero, ¿cómo se puede calcular la dilatación del tiempo para un viaje que implica aceleración?
Los detalles del cálculo se recogen en el capítulo 6 de Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler . No voy a reproducir el cálculo aquí porque es sorprendentemente aburrido. Se resuelven un par de ecuaciones simultáneas para obtener las ecuaciones diferenciales del tiempo, $t$ y la distancia, $x$ y se resuelven estas dos ecuaciones diferenciales para obtener:
$$ t = \frac{c}{a} \sinh\left(\frac{a\tau}{c}\right) \tag{1} $$
$$ x = \frac{c^2}{a} \left(\cosh\left(\frac{a\tau}{c} \right) – 1 \right) \tag{2} $$
En estas ecuaciones $\tau$ es el tiempo medido en su reloj de pulsera, $t$ es el tiempo medido por los observadores en la Tierra y $x$ es la distancia recorrida medida por los observadores en la Tierra. Los tiempos $t$ y $\tau$ comienzan en cero en el momento en que comienzas a acelerar y dejas la Tierra. Finalmente $a$ es su aceleración constante. Tenga en cuenta que $a$ es la aceleración que se mide, es decir, es la aceleración que muestra un acelerómetro que sostienes mientras estás sentado en el cohete.
Para hacer el cálculo, por ejemplo para el viaje a Kepler 186f, se toma la primera mitad del viaje mientras el cohete está acelerando y se pone $x$ a esta distancia. Así que para Kepler 186f $x = 245$ años luz. Luego se resuelve la ecuación (2) para obtener el tiempo transcurrido en el cohete $\tau$ y, por último, se introduce en la ecuación (1) para obtener el tiempo transcurrido en la Tierra. Este es el tiempo de la mitad del viaje, así que duplícalo para obtener el tiempo de todo el viaje. He hecho esto para un rango de aceleraciones para obtener este gráfico:
![Constant acceleration]()
De nuevo, la línea azul es el tiempo medido en la Tierra y la línea roja es su tiempo. Con una aceleración de sólo 0,1g, el tiempo de viaje se reduce ya a 76 años (apenas realizable en una sola vida) y con una aceleración más cómoda de 1g, el tiempo de viaje es un poco más de 12 años.
Como los valores no son tan fáciles de leer en el gráfico, aquí hay algunos valores representativos:
$$\begin{matrix} a (/g) & \tau (/\text{years}) & t (/\text{years}) \\ 0.01 & 374.9 & 655.9 \\ 0.1 & 76.8 & 509.0 \\ 1 & 12.1 & 491.9 \\ 10 & 1.7 & 490.2 \end{matrix}$$
Notas a pie de página para los que no son expertos
Suponiendo que tengas algo más que un interés casual por la Física (¡por qué si no estarías leyendo esto!) hay muchas más cosas interesantes sobre el movimiento acelerado. Por ejemplo, te preguntarás cómo la nave espacial que acelera a 1g puede viajar 490 años luz en 12,1 años si nada puede viajar más rápido que la luz. La respuesta es que la nave espacial no viaja 490 años luz. Contracción de Lorentz causada por su alta velocidad significa que viaja una distancia mucho más corta.
Tenemos las ecuaciones para la distancia y el tiempo anteriores, y puedes combinarlas para calcular la velocidad en función del tiempo de la nave espacial $\tau$ . No lo haré, ya que es sólo álgebra; en su lugar, me limitaré a citar el resultado:
$$ v = c \tanh \left( \frac{a\tau}{c} \right) \tag{3} $$
Si la nave espacial viaja a la velocidad $v$ en relación con la Tierra y la estrella de destino, entonces la Tierra y la estrella se desplazan a una velocidad $v$ en relación con la nave espacial, y la tripulación de la nave espacial ve las distancias contraídas por el factor de Lorentz:
$$ d’ = \frac{d}{\gamma} = d\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$
Cuando la nave espacial se pone en marcha su distancia a la estrella es de 490 años luz, pero a medida que acelera esta distancia disminuye por dos razones. En primer lugar (obviamente) la nave se mueve hacia la estrella, pero en segundo lugar la contracción de Lorentz hace que la distancia restante sea menor.
Para calcular este efecto se calcula $x(\tau)$ utilizando la ecuación (2) para la primera mitad del viaje. Como el viaje es simétrico, se puede reflexionar sobre el punto medio para obtener $x(\tau)$ para la segunda mitad del viaje. Entonces la distancia que queda es sólo (para Kepler 186f) 490 años luz - $x$ . Calcula la velocidad utilizando la ecuación (3) (de nuevo para la primera mitad y luego reflexiona sobre el punto medio). Calcula el factor de Lorentz a partir de la velocidad y multiplícalo para obtener la distancia contraída que queda. Los resultados para una aceleración de 1g se ven así:
![Distance left]()
Para que los datos sean más claros, he representado la distancia restante de la última mitad del viaje en una escala ampliada a la derecha. La discontinuidad se produce cuando la nave espacial pasa de la aceleración a la desaceleración. El gráfico muestra que los ocupantes de la nave ven cómo la distancia que les queda por recorrer se reduce rápidamente a medida que aumenta su velocidad. Por el contrario, a medida que comienzan a desacelerar, la contracción de Lorentz disminuye y la distancia que les queda por recorrer se reduce sólo lentamente hasta que están cerca del destino.
