Estudio de la irreductibilidad del polinomio

Question

¿Cómo podría estudiar la irreducibilidad del polinomio siguiente

$((x-1)(x-2) \cdots (x-n))+1$ en $\mathbb{Q}[x]$

Answer 1

Proposición:
a) El polinomio $P_n(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)+1 \in \mathbb{Q}[x]$ es irreducible para $n\neq 4$
b) $P_4(x)=(x^2-5x+5)^2$
Prueba:
Supongamos que $P_n(x)$ es reducible y escribimos $P_n(x)=f(x)g(x)$ con $\operatorname {deg}f(x), \operatorname {deg}g(x)\lt n$ y suponer (Gauss) que $f(x),g(x)\in \mathbb Z[x]$ .
Entonces evaluando en los enteros $1\leq k \leq n$ vemos que $P_n(k)=1=f(k)g(k)$ forzando $$f(k)=g(k)=\epsilon_k=\pm1$$ Pero entonces el polinomio $f(x)-g(x)$ tiene $n$ ceros (a saber $1,\cdots,n$ ) y grado $\lt n$ .
Esto implica $f(x)-g(x)=0$ para que $f(x)=g(x)$ y $$P_n(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)+1 =(f(x))^2 \quad (\bigstar)$$ Esto demuestra que el grado $n$ de $P_n$ debe ser par: $n=2m$ .
Finalmente evaluando en $x=\frac 32$ obtenemos de $(\bigstar)$ : $$-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdots \frac{4m-3}{2}+1=f(\frac 32)^2$$ El lado derecho $(f(x))^2$ es siempre $\geq 0$ pero el lado izquierdo es $\geq 0$ sólo para $m=1$ o $2$ por lo que ya vemos que $P_n(x)$ puede factorizarse como $f(x)g(x)$ sólo si $n=2m$ es igual a $2$ o $4$ .
$\bullet $ Para $m=1$ obtenemos $P_2(x)=(x-1)(x-2)+1=x^2-3x+3$ que es irreducible.
$\bullet \bullet$ Para $m=2$ obtenemos $$P_4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1=(x^2-5x+5)^2$$ que es así (¡extrañamente!) el único polinomio reducible de la familia $P_n(x)$ .