Hay una característica universal en esta proposición (que respecta al campo de extensiones)?

Question

Desde el aprendizaje de un poco de categoría teoría, estoy tratando, como un ejercicio, el estado de resultados que encontré en categorías de lenguaje. Estoy tratando de hacer esto con la siguiente:

Deje $\mathbf{K},\mathbf{K'}$ dos campos, vamos a $f:\mathbf{K}\to\mathbf{K'}$ ser un anillo homomorphism, y deje $\alpha\in \mathbf{K}_a$ (donde $\mathbf{K}_a$ denota la clausura algebraica de $\mathbf{K}$). También, vamos a $\mu$ el valor del polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbf{K}$. Si $\beta$ es una raíz de $f(\mu)$$\mathbf{K}_a'$, entonces existe una única extensión de $\phi:\mathbf{K}(\alpha)\to \mathbf{K}_a'$ $f$ tal que $\phi(\alpha)=\beta$.

Esto se parece a algún tipo de característica universal, pero se me hace difícil ver exactamente lo que sucede aquí (si, por supuesto, no es en realidad algo que está sucediendo en la categoría de nivel).

Gracias por la ayuda!

Answer 1

El universal propiedad es $K(\alpha)$ es el universal (inicial) extensión de $K$ junto con una raíz del polinomio mínimo de a $\alpha$. La clausura algebraica tiene la propiedad de que cada polinomio tiene una raíz, por lo que es, en particular, de tal prórroga. (Uno podría pensar que es la clausura algebraica que se supone que tienen una característica universal de aquí, pero este no es el caso).

Answer 2

Recuerdan $K(\alpha)=K[x]/(f)$ y que el polinomio de álgebras de tener una característica universal (de libre contigua de un elemento) y el cociente anillos tienen una característica universal (matar a los elementos en el ideal). De ello se deduce que para cualquier $K$-álgebra $R$ tenemos un bijection entre el $K$-álgebra homomorphisms $K(\alpha) \to R$ y las raíces de $f$$R$. Y sí, esta es una característica universal, porque universal propiedades son básicamente las descripciones de representable functors, en este caso $\hom_{K\mathsf{Alg}}(K(\alpha),-)$.