Probar que si $\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$ $x_n$ converge a cero.

Question

Supongamos que $x_n$ es una secuencia de números positivos y $\lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}<1$. Demostrar que $x_n\to 0$.

Tengo una idea de cómo probar esto, pero primero necesito saber si existe la suposición implícita de que el límite existe.

Si se me permite usar esta suposición, a continuación, tengo la intención de usar la definición de límite para mostrar que no es un número $r$ tal que $\lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}<r<1$. Si puedo elegir epsilon para probar esta afirmación, a continuación, voy a ser capaz de escribir la prueba.

Answer 1

Creo que cuando usted dice "(...) el límite existe", significa que el límite de $x_n$, derecho?*

Si es así, entonces tenga en cuenta que desde $\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}<1$, tenemos que existe una $N$ que si $n>N$,$\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$. Por lo tanto, $x_{n+1} <x_n$. De ello se desprende que $x_n$ (eventualmente) una disminución de la secuencia, que está delimitada por debajo de desde que el $x_n$'s se supone que para ser positivo. Por lo tanto, $x_n$ es de hecho convergente.

*Creo que esto es lo que quiso decir, porque una vez que usted sabe que $\lim x_n=L$ algunos $L$, $\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{L}{L}=1$ si $L \neq 0$. Por lo tanto, $L$ debe $0$.

Answer 2

Sí, cuando dicen $\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} < 1,$ esto debe significar que el límite existe. De lo contrario, ¿cómo podría ser menor que uno?