El producto cartesiano contable y el axioma de la elección

Question

En el Una muestra de la topología libro, cuando se habla del producto cartesiano $ \prod\ {S:S \in\mathcal {S}\}$ el autor escribe lo siguiente :

Es sencillo que $ \prod\ {S:S \in\mathcal {S}\} \neq\emptyset $ siempre que $ \mathcal {S}$ es finito y $S \neq\emptyset $ para cualquier $S \in\mathcal {S}$ . Lo mismo se puede mostrar si $ \mathcal {S}$ es contable ver el ejercicio 2.

El " Ejercicio 2 " pide que se demuestre que $ \prod_n S_n$ de conjuntos no vacíos es no vacío, sin invocar el lema de Zorn.

¿Es en verdad tan sencillo mostrar la demanda de la contabilidad $ \mathcal {S}$ ? Tenía la impresión de que aunque no se necesita toda la fuerza de la CA, todavía se necesita el axioma más débil de la elección contable para hacer esa afirmación. ¿Se puede probar sólo en ZF?

Answer 1

Basado en la información que usted provee esto es un error. Tiene razón en que es consistente que hay una familia contable de conjuntos finitos cuyo producto está vacío (es decir, no tienen una función de elección).

Por ejemplo, en el segundo modelo de Cohen para el fracaso de la elección hay tal familia de conjuntos de tamaño $2$ .