Si $f\!: X\simeq Y$ entonces $X\!\cup_\varphi\!\mathbb{B}^k \simeq Y\!\cup_{f\circ\varphi}\!\mathbb{B}^k$ .

Question

¿Cómo puedo demostrar que si dos espacios $X$ y $Y$ son homotópicamente equivalentes, entonces los espacios correspondientes obtenidos pegando a $k$ -¿también son equivalentes?

En concreto, si $\varphi\!:\mathbb{S}^{k-1}\!\rightarrow\!X$ es un mapa continuo y $f\!:X\!\rightarrow\!Y$ es una equivalencia homotópica, entonces $X\!\cup_\varphi\!\mathbb{B}^k$ y $Y\!\cup_{f\circ\varphi}\!\mathbb{B}^k$ son homotópicamente equivalentes.

Esto está motivado por el hecho de que Shastri Elementos de topología diferencial , p.226, Corolario 8.3.4, Prueba (i): .

Mi intento: Ampliamos $f$ a un mapa $\overline{f}\!:X_i\!\cup_\varphi\!\mathbb{B}^k \longrightarrow Y\!\cup_{f\circ\varphi}\!\mathbb{B}^k$ con la identidad en $\mathbb{\mathring{B}}^k$ . Entonces $\overline{f}$ es continua: para toda sucesión convergente $\mathbb{\mathring{B}}^k\!\ni a_n\!\longrightarrow a\!\in\!\partial\mathbb{B}^k$ y $\varphi(a)\!=\!x\!\in\!X$ existe $\mathbb{\mathring{B}}^k\!\ni \overline{f}(a_n)\!=\! a_n\!\longrightarrow a\!\in\!\partial\mathbb{B}^k$ y $f\!\circ\!\varphi(a)\!=\! \overline{f}(x)\!\in\!Y$ Por lo tanto $\overline{f}(\lim_na_n)\!=\!\lim_n\overline{f}(a_n)$ . Del mismo modo, extendemos el inverso de homotopía $f'$ de $f$ a un mapa $\overline{f'}\!:Y_i\!\cup_{f\circ\varphi}\!\mathbb{B}^k \!\longrightarrow\! X\!\cup_{\varphi}\!\mathbb{B}^k$ con la identidad en $\mathbb{\mathring{B}}^k$ . Entonces $\overline{f'}$ también es continua: para toda sucesión convergente $\mathbb{\mathring{B}}^k\!\ni a_n\!\longrightarrow a\!\in\!\partial\mathbb{B}^k$ y $f\!\circ\!\varphi(a)\!=\!y\!\in\!Y$ tenemos $\mathbb{\mathring{B}}^k\!\ni \overline{f'}(a_n)\!=\! a_n\!\longrightarrow a\!\in\!\partial\mathbb{B}^k$ y $\varphi(a) \overset{???}{=} \overline{f'}\!\circ\!f\!\circ\!\varphi(a) \!=\! \overline{f'}(y)\!\in\!X$ Por lo tanto $\overline{f'}(\lim_na_n)\!=\!\lim_n\overline{f'}(a_n)$ . A continuación, ampliamos la homotopía $h\!:f'\!\circ\!f\simeq\mathrm{id}_X$ a un mapa $\overline{h}\!: (X_i\!\cup_\varphi\!\mathbb{B}^k)\!\times\!\mathbb{I} \longrightarrow X_i\!\cup_\varphi\!\mathbb{B}^k$ con la identidad en $\mathbb{\mathring{B}}^k\!\times\!\mathbb{I}$ . Del mismo modo, extendemos la homotopía $h'\!:f\!\circ\!f'\simeq\mathrm{id}_Y$ .

Edita: De Milnor's Teoría Morse , p. 21:

Pregunta 1: En el lema 3.6, ¿cómo defino $l$ ? No creo que funcione lo siguiente: $$\begin{array}{l} l(x)=x &;\; x\!\in\!X\\ l(tu)=2tu &;\; t\!\in\!{\textstyle[0,\frac{1}{2}]}, u\!\in\!S^{k-1}\\ l(tu)=\varphi_{2t-1}(u) & ;\; t\!\in\!{\textstyle[\frac{1}{2},1]}, u\!\in\!S^{k-1}. \end{array}$$ Además, ¿cuáles son entonces las homotopías entre $kl$ y $lk$ ?

Edita: Este $l$ resulta estar bien. Entonces tenemos $$k\!\circ\!l\!=\!\! \begin{cases} \;\:x \mapsto x & ;\; x\!\in\!X\\ tu \mapsto 4tu & ;\; t\!\in\![0,\frac{1}{4}], u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1}\\ tu \mapsto \varphi_{2-4t}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{4},\frac{1}{2}], u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1}\\ tu \mapsto \varphi_{2t-1}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{2},1], u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1} \end{cases}$$ y $$l\circ\!k\!=\!\! \begin{cases} \;\:x \mapsto x & ;\; x\!\in\!X\\ tu \mapsto 4tu & ;\; t\!\in\![0,\frac{1}{4}], u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1}\\ tu \mapsto \varphi_{4t-1}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{4},\frac{1}{2}], u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1}\\ tu \mapsto \varphi_{2-2t}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{2},1], u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1} \end{cases}.$$ Las homotopías deseadas son entonces (donde $s$ es el parámetro temporal) $$\begin{array}{ c @{\hspace{2pt}} l} \alpha\!\circ\!\beta\simeq \mathrm{id}_{X\cup_{\varphi_1}\mathbb{B}^k} & \;\;u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1}\\ x & ;\; x\!\in\!X\\ (4\!-\!3s)tu & ;\; t\!\in\![0,\frac{1}{4}] \\[1pt] (1\!+\!s(t\!-\!1))\varphi_{4t(s-1)+2-s}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\[1pt] (1\!+\!s(t\!-\!1))\varphi_{2t(1-s)+2s-1}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{2},1] \end{array}$$ y $$\begin{array}{c @{\hspace{2pt}} l} \beta\circ\!\alpha\simeq \mathrm{id}_{X\cup_{\varphi_0}\mathbb{B}^k} & \;\;u\!\in\!\mathbb{S}^{k-1}\\ x & ;\; x\!\in\!X\\ (4\!-\!3s)tu & ;\; t\!\in\![0,\frac{1}{4}]\\[1pt] (1\!+\!s(t\!-\!1))\varphi_{(4t-1)(1-s)}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\[1pt] (1\!+\!s(t\!-\!1))\varphi_{2(1-t)(1-s)}(u) & ;\; t\!\in\![\frac{1}{2},1] \end{array}. $$

Pregunta 2: En el lema 3.7, ¿cómo puedo ver que $G$ tiene un inverso a la izquierda?

Answer 1

Este resultado es un caso especial de Teorema del encolado para las equivalencias homotópicas, que puede expresarse del siguiente modo. Supongamos dado el siguiente diagrama cúbico conmutativo

en el que las caras posterior y anterior son pushouts y $i,j$ son cofibraciones cerradas. Supongamos que $\phi^i$ son equivalencias homotópicas para $i=0,1,2$ . A continuación, el mapa $\phi: Q \to R$ que, por supuesto, viene determinada por el resto del diagrama, también es una equivalencia homotópica.

Este resultado es 7.5.7 de mi libro Topología y Groupoides y de hecho se publicó por primera vez, pero sin el diagrama cúbico, en la edición de 1968 llamada "Elements of Modern Topology". La prueba aquí también da un buen control de las homotopías.

Más tarde: El resultado se encontró partiendo del resultado estándar de que una equivalencia homotópica $f: Y \to Z$ de espacios topológicos induce un isomorfismo de grupos de homotopía, y luego generalizando mediante la sustitución de $(S^n,x)$ por un par $(X,A)$ para lo cual $A \to X$ es una cofibración cerrada. Esto condujo a la posibilidad de pegar equivalencias homotópicas de partes de una unión donde las equivalencias coincidían en la intersección $A$ .

Este teorema también se ha demostrado en el contexto de las categorías modelo para la teoría de homotopías.

30 de agosto: Leon me preguntó por qué $G$ en la prueba de Milnor tiene una homotopía inversa izquierda. Creo que la idea es la misma que para $F$ pero utiliza la composición $$Y \cup _{f \phi} e^n \to X \cup_{gf\phi} e^n \to Y \cup_{fgf\phi}e^n$$ y luego utilizar la homotopía $fg \simeq 1$ .

Tengo una objeción a la prueba de Milnor en que la homotopía $q_{\tau}$ sólo se escribe; eso parece ad hoc y preferiría una mayor justificación. Parte de la motivación de mi exposición era dar razones de la existencia de homotopías, ya que algunos de los artículos originales me resultaban difíciles de seguir.

Un hecho categórico que subyace a este resultado es que si $a,b,c$ son morfismos en una categoría y $cb, ba$ están definidos y son isomorfismos, entonces $a,b,c$ son isomorfismos. Pero cuando se examina la prueba de esto, y se aplica al problema planteado, se encuentra que algunas de las homotopías implicadas en la equivalencia homotópica final no son combinaciones rectas de las homotopías originales, sino que son tipos de ``conjugados''.

Espero que le sirva de ayuda.

April 30, 2020 También puedes consultar el trabajo sobre equivalencias homotópicas fuertes de Vogt, y de C. B Spencer, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, Volume 18 (1977) no. 4, p. 409-429. cf aquí .