Encontrar la norma de los operadores

Question

¿Cómo puedo encontrar la norma de la siguiente operador, es decir, cómo encontrar$\lVert T_z\rVert$$\lVert l\rVert$?

1) Vamos a $z\in \ell^\infty$ $T_z\colon \ell^p\to\ell^p$ $$(T_zx)(n)=z(n)\cdot x(n).$$ Lo que mis pensamientos eran para uso de Banach-Steinhaus teorema pero parece sencillo y no sé si estoy en lo cierto.

$\lVert T_z\rVert _p \leqslant\lVert z\lVert \cdot n\cdot\lVert x\rVert_p n=n^2\lVert x\rVert _p$ así que si elijo $x=1$ yo $\lVert T_z\rVert =n^2$.

2) Deje $0\leqslant t_1\leqslant\cdots\leqslant t_n=1$ y $\alpha_1,\dots,\alpha_n \in K$ , $l\colon C([0,1])\to K$ con $l(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i x(t_i)$.

Cómo puedo encontrar el operador de la norma en este caso así? Estoy bastante seguro de que yo no soy de derecha. Yo estaría encantado si pudiera conseguir un poco de ayuda. Definitivamente algunos consejos sería genial! Gracias de antemano.

Answer 1

1. Como para cada uno de $n$, $|z(n)x(n)|^p\leqslant \lVert a\rVert_{\infty}|x(n)|^p$, entonces ciertamente tenemos $\lVert T_z\rVert\geqslant \lVert a\rVert_{\infty}$. Para obtener la otra desigualdad, fix $\delta$ y pick $k$ tal que $|a(k)|\geqslant \lVert a\rVert_{\infty}-\delta$ (en el caso de $a=0$ es obvio).

2. Asumimos $t_j$ distintas. Deje $f_j$ un mapa continuo tal que $f_j(t_j)=e^{i\theta_j}$ donde $e^{i\theta_j}\alpha_j=|\alpha_j|$ $f_j(t_k)=0$ si $k\neq j$. Podemos elegir el $f_j$'s tal que $\lVert \sum_{j=1}^nf_j\rVert=1$.