La línea real no es homeomórficos a cualquier no-trivial espacio del producto

Question

Me encontré con una pregunta que me interesa recientemente. Se le pidió a los siguientes:

Probar que si $\mathbb R$ es homeomórficos a$X \times Y$, $X$ o $Y$ es un singleton conjunto.

La noción de la conexión aún no había sido introducido en el texto. No estoy seguro de cómo proceder. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Vamos $X$, $Y$ ser espacios topológicos, de modo que $\mathbb{R}$ es homeomórficos a $X \times Y$. Desde $\mathbb{R}$ está conectado, claramente lo es $X \times Y$. Ahora $X$ es un surjetive imagen de $X\times Y$, y así es $Y$. Por lo tanto ambos $X$ $Y$ también están conectados.

Nota ahora que $\mathbb{R}$- y por lo $X\times Y$- tiene la propiedad de que el complemento de cualquier $1$ punto subconjunto no está conectado. Vamos a mostrar a continuación que, o bien $X$ $Y$ contiene un solo elemento. Asumir el contrario, que el $X$ contiene al menos dos elementos $x_1$, $x_2$, y $Y$ contiene $y_1$, $y_2$. Vamos a mostrar que, de hecho, el espacio de $Z\colon =X \times Y \backslash\{ ( x_1, y_1)\}$ está conectado. Para ello lo suficiente como para notar que cualquier punto de $(x,y)$ $Z$ está en el mismo componente conectado de $Z$$(x_2, y_2)$. De hecho, cualquier $(x,y)$ $x\ne x_1$ está contenida en conjunto con $(x, y_2)$ en el conectado subconjunto $\{x\} \times Y$$Z$.

Nota: Lo hemos demostrado en el hecho de que cualquier conectados espacio el complemento de algunos ( gracias @bof) el punto no está conectado, no es un producto de espacio en un no-trivial.

Answer 2

Supongamos $X$ $Y$ tienen cada uno más de un punto y la $\mathbb R \simeq X\times Y$.

El uso de las coordenadas de las proyecciones, vemos que $X$ $Y$ están conectados.

Deje $a,b\in X$ $c,d\in Y$ ser distintos puntos.

Considerar los puntos de $p=(a,c)$$q=(a,d)$.

Vamos

$$C_1=\{a\}\times Y$$

$$C_2=\big(\{b\}\times Y\big)\cup \big(X\times \{c\}\big)\cup \big(X\times \{d\}\big).$$

Ambos de estos conjuntos están conectados, y $C_1\cap C_2=\{p,q\}$.

Pero pueden dos puntos en $\mathbb R$ ser acompañados por los conjuntos conectados como este?

Answer 3

Si $X$ $Y$ están conectados espacios topológicos, cada uno que contiene al menos dos puntos, entonces el espacio del producto $X\times Y$ no tiene ningún punto de corte.

Prueba. Considere la posibilidad de cualquier punto de $(a,b)\in X\times Y;$ me tiene que demostrar que $X\times Y\setminus\{(a,b)\}$ está conectado.

Elija $x_0\in X\setminus\{a\}$ $y_0\in Y\setminus\{b\}.$ Ahora considere la posibilidad de cualquier punto de $(x,y)\ne(a,b);$ voy a demostrar que $(x,y)$ $(x_0,y_0)$ están en la misma componente de $X\times Y\setminus\{(a,b)\}.$

Caso I. Si $x\ne a$ $(\{x\}\times Y)\cup(X\times\{y_0\})$ está conectado a un subconjunto de a $X\times Y\setminus\{(a,b)\}$ contiene $(x,y)$ $(x_0,y_0).$

Caso II. Si $y\ne b$ $(X\times\{y\})\cup(\{x_0\}\times Y)$ está conectado a un subconjunto de a $X\times Y\setminus\{(a,b)\}$ contiene $(x,y)$ $(x_0,y_0).$

Answer 4

ACTUALIZACIÓN 2: Ok, me doy cuenta de crítica afirmación de que $\pi_X \circ h \colon \mathbb{R} \to X$ es un homeomorphism estaba equivocado. Vamos a ver si puedo puñalada en ella sin conexión cuando me despierto.

ACTUALIZACIÓN 1: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $|X|=\mathbb{R}$. Deje $h \colon \mathbb{R} \to X \times Y$ ser un homeomorphism. Es fácil comprobar que $\pi_X \circ h \colon \mathbb{R} \to X$ es un homeomorphism, donde $\pi_X \colon X \times Y \to X$ es la proyección del mapa.

Supongamos que la contradicción que $|Y|>1$?

Bastante seguro de que hay algo que se puede hacer allí, pero me voy a dormir en eso por ahora.

Espero que ayude.