Límite débil de las medidas mutuamente singulares con respecto a la medida de Lebesgue

Question

Estoy atascado en el siguiente problema de calidad:

Dejemos que $\{h_{n}\}$ sea una secuencia de funciones continuas positivas sobre el cubo unitario $Q$ en $\mathbb{R}^{d}$ que satisface las siguientes condiciones:

• $\lim_{n\rightarrow\infty}h_{n}(x)=0$ $m$ -a.e. ( $m$ denota la medida de Lebesgue en $Q$ )
• $\int_{Q}h_{n}dx=1$ $\forall n$
• $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{Q}fh_{n}dx=\int_{Q}fd\mu$ para toda función continua $f$ en $Q$ .

Demostrar que $\mu\perp m$ o dar un contraejemplo.

Mi intuición me sugiere que $\mu\perp m$ desde $h_{n}\rightarrow 0$ a.e. y, por tanto, debe hacerse muy grande en conjuntos de medida de Lebesgue pequeña; sin embargo, me cuesta probar mi conjetura. Mi idea era escribir el $\int_{Q}fd\mu=\int_{Q}fh dx+\int_{Q}fd\nu$ , donde $hdx+\nu=\mu$ es la descomposición de Lebesgue de $\mu$ y luego demostrar que $h=0$ $m$ -a.e, o de forma equivalente $\int_{Q}fhdx=0$ para cada continuo $f$ . Pero no he podido hacerlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

El error de razonamiento que $\mu$ debe ser singular porque $h_n$ es muy pequeño excepto en un conjunto muy pequeño es que ese conjunto muy pequeño puede ser algo uniforme (en la resolución correcta).

Contraejemplo en una dimensión:

Definir $$I_{n,j}=[j/n,(j+2^{-n})/n].$$ Dejemos que $\phi_{n,j}$ sea una función continua soportada en $I_{n,j}$ con $\phi_{n,j}\ge0$ y $$\int\phi_{n,j}=1/n.$$ Set $$E_n=\bigcup_{j=0}^{n-1}I_{n,j}.$$ Dejemos que $$h_n=\sum_{j=0}^{n-1}\phi_{n,j}.$$ Entonces $h_n\ge0$ , $\int h_n=1$ y $$\int fh_n\to\int_0^1f(x)\,dx$$ por cada $f\in C([0,1])$ . (Pista: $f$ es uniformemente continua. La idea del ejemplo es que $\int fh_n$ es moralmente equivalente a una suma de Riemann para $\int f$ .)

Desde $h_n=0$ en $[0,1]\setminus E_n$ y $\sum m(E_n)<\infty$ se deduce que $h_n\to0$ casi en todas partes.

Si $h_n\ge0$ no es lo suficientemente positivo, dejemos que $g_n=(1-1/n)h_n+1/n$ .

Ejercicio: Supongamos que $\mu$ es una medida de probabilidad de Borel en $[0,1]$ . Demuestre que existe $h_n\ge0$ tal que $h_n\to0$ casi en todas partes, pero $\int fh_n\to\int f\,d\mu$ por cada $f\in C([0,1])$ .