Deje $\mathcal{F}$ ser la transformada de fourier del operador y dejar $T_R$ = $\mathcal{F}^* \chi_R\mathcal{F}$ donde $\chi_R$ es el indicador de la función en la bola de radio $R$. Por lo tanto $T_R$ es la transformada de fourier multiplicador del operador con el indicador de función en la esfera de radio R. estoy interesado en la comprensión de la pregunta por lo $p$$1\leq p\leq \infty$, $T_R(f) \to f$ $L^p$ $R\to \infty$ todos los $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ ?
Sólo estoy interesado en $n\geq2$.
Primero ahora estoy un poco confundido acerca de cómo hacer la pregunta precisa. Ahora $T_R(f) = f*\hat{\chi_R}$ y por la fase estacionaria argumentos sé que la exacta asymptotics de $\hat{\chi_R}(\xi)$ es como $|\xi|^{-(n+1)/2}$ $\xi \to \infty$ y, por tanto, $\hat{\chi_R} \in L^p(\mathbb{R}^n)$ fib $p> \frac{2n}{n+1}$. De ahí que el problema definitivamente no tiene sentido (es decir, no es trivial schwartz función para la cual la declaración de falla) por $1\leq p \leq \frac{2n}{n+1}$. Mediante el uso de los Jóvenes de la desigualdad, sabemos que $T_R(f)$ $L^1_{loc}$ $ f \in L^p$ para el rango de $ \frac{2n}{n+1}<p < \frac{2n}{n-1}$ por lo tanto el problema es potencialmente significativo, interesante, en este rango. Pero, ¿qué acerca de la $p \geq \frac{2n}{n-1}$? Hay un claro contraejemplo o un argumento que las normas de este rango de $p$? Ni siquiera estoy seguro de si $T_R(f)$ $L^1_{loc}$ $p$ en este rango.
En muchos lugares he leído que el problema original es equivalente al problema de acotamiento del operador $T_R$ $L^p \to L^p$ (Stein mensions de esto en su libro de Análisis Armónico de la página 389). Entiendo que si $T_R$ es acotado, entonces el problema original es resuelto para que $p$ por un simple densidad de argumento. Sin embargo, no veo por qué tenemos que tener acotamiento de los operadores de $T_R$. Grafakos en su libro Moderno de Análisis de Fourier "prueba" que realmente necesitamos acotamiento de $T_R$ en el ejercicio 10.2.1 página 366 y la prueba es a través de acotamiento uniforme principio. Sin embargo no veo cómo se puede aplicar este acotamiento uniforme principio como el principio sólo se aplica si nos apriori saber que el individuo operadores acotados.
Por ejemplo, considere la posibilidad de un infinito dimensional espacio de Banach $X$. Por el axioma de elección, dejar que nos eligió una base de hamel y recoger una contables infinito entre ellos $x_1, x_2,..$. Podemos definir los operadores no acotados $T_n:X \to X$ mediante la definición de ellos en la elección de vectores de la base y se extiende linealmente. Definir $T_n(x_i) = i*x_i$ $i\geq n$ y cero para $i<n$, y cero en todos los demás vectores de la base. Vemos claramente que, a $T_n$ ilimitado a los operadores, para cada $f\in X, sup\|T_n(f)\| < \infty$ $T_n(f) \to 0$ por cada $f\in X$.
Entonces, para resumir tengo 2 preguntas:
1) Si la pregunta $T_R(f) \to f$ $L^p$ todos los $f\in L^p$ tiene sentido (o no tiene sentido) por $p \geq \frac{2n}{n-1}$
2) ¿qué $T_R(f) \to f$ $L^p$ todos los $f\in L^p$ implica el acotamiento de la opertors $T_R$
Lo siento por el largo post. Cualquier ayuda se agradece!
