Para un anillo de char $p$ donde $p>0$ es un número primo, ¿qué $R^{1/p}$ significa?

Question

Si $R$ es un anillo de carácter $p\gt 0$, ¿qué $R^{1/p}$ significa?

No estoy seguro de cómo buscar, ya que no sé el nombre. De la notación, parece ser un anillo compuesto de la p-ésima raíces de todos los elementos de a $R$, pero de una definición rigurosa sería bueno y tal vez incluso un nombre.

Answer 1

Si $R$ es un dominio, tiene una fracción de campo $K$, lo que a su vez tiene una clausura algebraica $\bar K=\Omega$.
Este último campo tiene un conocido Frobenius automorphism $Frob:\Omega \to \Omega: x\mapsto x^p$.
El anillo que usted está buscando después de que la imagen de $R$ bajo su inversa automorphism, es decir, el anillo de $$R^{1/p}= Frob^{-1}(R)$$ Usted puede repetir este proceso y conseguir los anillos de $R^{1/p},R^{1/p^2},R^{1/p^3} ,\ldots \subset \Omega\;$ cuya unión es simbólicamente se denota $R^{1/p^\infty}$ .

Si $R$ no es un dominio, creo que usted debe ser muy cauteloso y yo definitivamente no quiero decir nada sobre ese caso.

Un ejemplo de La más simple no trivial ejemplo podría ser el polinomio anillo de $R=\mathbb F_p[X]$, por lo que tenemos $R^{1/p}=\mathbb F_p[X^{1/p}]$.