Es bien sabido que si $G$ es finito, p-grupo y $1 \neq H \unlhd G$$H \cap Z(G) \neq 1$.
Existen otras familias de grupos con esta propiedad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
(Todos los grupos finitos.) Una alternativa caracterización es que el zócalo es central. Por ejemplo, cuasi-sencillo pero no simple grupo tiene esta propiedad.
El zócalo es el subgrupo generado por la mínima normal de los subgrupos. Si un mínimo normal subgrupo cruza el centro, lo hace en un subgrupo normal, y por lo tanto es, de hecho, figura en el centro. En un grupo en el que todos los no-identidad normal subgrupo cruza el centro de la no-trivial, cada mínimo normal subgrupo está contenida en el centro, y por lo tanto el zócalo, también deben estar presentes en el centro. En la otra dirección, si el zócalo es la contenida en el centro, luego cada subgrupo normal contiene un mínimo normal subgrupo, y por lo tanto se cruza el centro de la no-trivial.
Un ejemplo claro es el grupo SL(2,5) de la orden de 120. Está lejos de ser un p-grupo, ya que es un perfecto grupo. Sin embargo, su estructura normal es muy restringido. Se trata de "sentado en la cima de su centro", por lo que su centro es, literalmente, su zócalo.
En general, cualquier perfecta grupo G tal que G/Z(G) es simple, pero de Z(G)≠1 es también un ejemplo de una simple sesión de grupo con orgullo en lo alto de su central zócalo. Estos son los llamados cuasi-simple grupos.
Perfecto para grupos, sólo necesita una correcta "madre" de la extensión de un perfecto grupo. Es decir, tomar cualquier centerless perfecto con el grupo de no-trivial de Schur multiplicador, y tomar una (incluso parcial) que abarca un grupo. El original y perfecto grupo no tiene que ser simple.
markedup
Puntos
505
El mismo será cierto para cualquier grupo que es un producto directo de sus subgrupos de Sylow (aplicar el resultado en $p$-grupos de las intersecciones de la normal subgrupo con el Sylows). Esto se aplica, por ejemplo, a nilpotent grupos, así como a hypercentral grupos.
Además, si $G$ tiene esta propiedad y $S$ es simple, a continuación, $G\times S$ también tiene esta propiedad: de hecho, en el centro de la $G\times S$$Z(G)\times\{1\}$. También, cualquier subgrupo normal de $G\times S$ ha trivial proyección modulo $G$, por lo que está contenido en $G$. Véase el comentario de Jack.
