Demostrar $\lim _{x \to 0} \sin(\frac{1}{x}) \ne 0$

Question

Demostrar $$\lim _{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \ne 0.$$

Estoy seguro de cómo demostrar a este problema. Voy a preguntar si tengo dudas sobre la prueba. Gracias!

Answer 1

He aquí una respuesta intuitiva, sólo para sacudir las cosas. El límite de una función a medida que se acerca algún punto es el valor que espera la función de tomar en ese momento$^1$ sobre la base de lo que lo hace cerca del punto. Si usted no puede formar ningún tipo de expectativas acerca de la función del valor, el límite no existe.

Ahora echa un vistazo a la función en cuestión:

¿Alguien puede posiblemente formar expectativas sobre donde esa función debe ser de al $0$?

Por supuesto, una vez que tenga la intuición, usted tiene que anotar la prueba. Para eso, es necesario recordar la definición de los límites y formalizar por qué usted no puede averiguar donde $\sin(x^{-1})$ "debería" ser en $0$.

1. (Tenga cuidado, sin embargo! La función no esté definida en el punto! Estamos formando una expectativa de lo que piensa la función debe ser, si llegara a existir. No sabemos nada acerca de cuál es la función que realmente hace).

Answer 2

con el fin de demostrar el límite de $\not=0$, solo necesita encontrar un secuente $\{x_n\}\rightarrow0$,pero $\sin(x_n) \not\rightarrow 0$. y el de abajo es el de la construcción.

$$x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}$$

$$\sin\left(\frac{1}{x_n}\right)=1$$

Answer 3

Para demostrar que, en algunos límite de una función no existe mejor utilizar a menudo Heine definición de límite, el cual establece que una función de $f(x)$ tiene un límite de $L$$x = a$, si para cada secuencia $\{x_n\}$ , que tiene un límite en $a$, la secuencia de $f(\{x_n\})$ tiene un límite de $L$.

Por lo tanto, por la definición anterior, es necesario encontrar(que ya está hecho para usted, en la respuesta anterior) secuencias de $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ tal que $\lim x_n=\lim y_n=0$, pero $f(x_n)\neq f(y_n)$.

Answer 4

Como complemento a Marvis respuesta y a Neal del dibujo, considere la posibilidad de $$ x_n(\delta) = \frac 1{2n\pi + \delta}. $$ Entonces $$ f(x_n) = \sin(2 n \pi + \delta) = \sin (\delta) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \sin(\delta). $$ La elección de $\delta$ tal que $\sin(\delta) = y \in [-1,1]$, podemos ver que el uso de una adecuada secuencia $x_n(\delta)$ convergentes a $0$, podemos acercarnos a cualquier valor entre $[-1,1]$. Desde $|f(x_n)| \le -1$, esto se explica por el comportamiento feo de la función cerca de $0$ como se ve en Neal del gráfico.

Espero que ayude,