En condiciones suficientes para la Fréchet-la diferenciabilidad de una función de varias variables

Question

Deje $E_1,...,E_n$ $F$ ser normativa espacios vectoriales y deje $\Omega \subset \prod E_k$ ser abierto.

Deje $f: \Omega \to F$ y deje $a \in \Omega$

Los siguientes son condiciones suficientes para $f$ a ser diferenciable en a $a$ (Fréchet-wise)?

• La derivada parcial de los mapas de $f$ existen en $\Omega$.

• La derivada parcial de los mapas de $f$ son continuas en a $a$.

¿Por qué estoy haciendo la pregunta

Leí en alguna parte un teorema que afirma que estas dos condiciones, además de la continuidad de $f$ $\Omega$ son suficientes para $f$ a ser diferenciable en a $a$. Sin embargo, a mí me parece que la continuidad de $f$ es utilizado en ninguna parte en la prueba.

Me disculpo por no presentar la prueba: la fuente no está disponible en línea, y la prueba es demasiado largo para escribirlo.

Por lo tanto, sólo estoy esperando a una persona con experiencia para que me confirme si es o no la continuidad es necesaria; yo no estoy en busca de una prueba, pero sólo una pista de por qué la continuidad de $f$ es necesario (en caso de que lo es).

Answer 1

Decir $a=0$$f(a)=0$, por simplicidad. Si uno de los derivados, decir $\partial_{x_1}f$, es continua en un barrio de $0$ $f$ es continua también, porque $$ f(x_1,\ldots x_n)=\int_0^{x_1}\frac{\partial f}{\partial x_1}(y_1, x_2\ldots x_n)\, dy_1.$$