Irracionalidad de $\sqrt[n]2$

Question

Sé cómo demostrar el resultado para $n=2$ por contradicción, pero ¿alguien conoce una prueba para enteros generales $n$ ?

Gracias por sus respuestas.

Marcus

Answer 1

Supongamos que $\sqrt[n]2$ es racional. Entonces, para algún $p,q\in\mathbb Q$ ,

$$\sqrt[n]2=\frac{p}{q}\implies 2=\frac{p^n}{q^n}\implies p^n=2q^n=q^n+q^n.$$

Contradicción con el último teorema de Fermat.

Answer 2

Solicitar Criterio de Eisenstein con $p = 2$ al polinomio $f(x) = x^n - 2$ . Esto demuestra que $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por lo que, en particular, no tiene raíces en $\mathbb{Q}$ .

Answer 3

FLT es todo un cañón para asentar la prueba. También se puede seguir el enfoque "clásico": suponiendo que WLOG $\gcd(p,q)=1$ si $p^n=2q^n$ entonces $2 \mid p^n$ lo que implica $2 \mid p$ , digamos $p=2r$ . Pero entonces $2^{n-1}r^n=q^n$ y puesto que $n \gt 2$ vemos que $2 \mid q^n$ . De ello se deduce que $2 \mid q$ contrayendo el hecho de que $p$ y $q$ son relativamente primos.