Compruebe la prueba de que $x_n = \ln^2(n+1) - \ln^2n$ es un almacén de secuencia.

Question

Deje $n\ \in \mathbb N$y la: $$ x_n = \ln^2(n+1) - \ln^2n $$ Demostrar que $x_n$ es un almacén de secuencia.

He tomado los siguientes pasos. Considere la posibilidad de $x_n$ $$ \begin{align} x_n &= \ln^2(n+1) - \ln^2n = \\ &= (\ln(n+1) + \ln n)(\ln (n+1) - \ln n) = \\ &= \ln \frac{n + 1}{n}\cdot \ln (n(n+1)) = \\ &= \ln\left({1 + {1\over n}}\right)\cdot \ln(n(n+1)) \end{align} $$

Ahora se multiplica y se divide por $n$: $$ \begin{align} x_n &= {n \over n} \ln\left({1 + {1\over n}}\right)\cdot \ln(n(n+1)) = \\ &= \ln\left({1 + {1\over n}}\right)^n \cdot\ln \sqrt[^n]{(n(n+1))} \end{align} $$

Ahora consideremos $\left({1 + {1\over n}}\right)^n$. Hay un montón de pruebas de que es acotada. En mi caso he usado la expansión con los coeficientes binomiales para demostrar que :

$$ 2< \left({1 + {1\over n}}\right)^n < 3 \implica \\ \ln2 < \ln \left({1 + {1\over n}}\right)^n < \ln3 $$

Así que ahora queremos demostrar que $\ln \sqrt[^n]{(n(n+1))}$ está acotada. Empezar con la siguiente:

$$ \ln \sqrt[^n]{n(n+1)} < \ln \sqrt[^n]{(n+1)^2} $$

Considere la siguiente ecuación:

$$ \begin{align} \sqrt[^n]{(n+1)^2} &= 1+a_n \iff \\ \iff (n+1)^2 &= (1+a_n)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_n^k \end{align} $$

Ahora:

$$ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_n^k \ge \frac{n(n+1)}{2}a_n^2 \implica \\ \implica (n+1)^2 \ge \frac{n(n+1)}{2}a_n^2 \implica \\ \implica a_n \le \sqrt{2 + {2\sobre n}} $$

Por lo $a_k$ es claramente delimitado. Lo que significa:

$$ \sqrt[^n]{(n+1)^2} < 1 + \sup\{a_n\} = 3 $$

También se $\sqrt[^n]{(n+1)^2} > 1$. Así:

$$ \ln1 < \ln \sqrt[^n]{(n(n+1))} < \ln3 $$

Ahora, volviendo a la expresión inicial:

$$ \ln1 \cdot \ln2 < \ln\left({1 + {1\over n}}\right)^n \cdot\ln \sqrt[^n]{(n(n+1))} < \ln3 \cdot \ln3 $$

Significado $x_n$ está acotada. He perdido de algo?

Answer 1

Es bien hecho. Sólo quiero observar que es bastante fácil demostrar que $0$ es un límite inferior de la secuencia. De hecho,$$(\forall n\in\mathbb{N}):n+1>n\implies\ln(n+1)>\ln n\implies\ln^2(n+1)>\ln^2n$$and therefore$$(\forall n\in\mathbb{N}):\ln^2(n+1)-\ln^2n>0.$$

Answer 2

Usted puede escribir $$ x_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n+\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln(n+1) $$ Desde $$ \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln(n+1) $$ usted sólo tiene que demostrar que $$ y_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln(n+1) $$ es superior acotada. Ahora $$ y_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n + \left(\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^{\!2} $$ El segundo sumando es limitada porque tiene límite de $0$. El primer sumando tiene límite cero, porque $$ \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n<n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) $$ y la secuencia de $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$ está acotada. En realidad, $$ \lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n=0 $$ como usted debe ser capaz de demostrar.

Answer 3

Por medio del teorema del valor de $f(x)=\ln^2x$ en $[n,n+1]$ existe $n<\xi<n+1$ tales que $$\ln^2(n+1)-\ln^2(n)=2\dfrac{\ln\xi}{\xi}<2$$ debido a $\ln\xi<\xi$. También se $\ln$ es el aumento de entonces $$\ln^2(n+1)-\ln^2(n)>0$$

Answer 4

Otro concisa opción: $\ln(n+1)<\ln n+\frac{1}{n}$ lo $0<\ln^2(n+1)-\ln^2 n<2\frac{\ln n}{n}+\frac{1}{n^2}<2\cdot 1+1=3$.

Answer 5

Lagrange del teorema proporciona una línea:

$$ \log^2(n+1)-\log^2(n) = \frac{d}{dx}\left.\log^2(x)\right|_{x=\xi\in(n,n+1)},\quad \frac{2\log\xi}{\xi}\to 0\text{ as }n\to +\infty. $$