Compruebe la prueba de que $x_n = \ln^2(n+1) - \ln^2n$ es un almacén de secuencia.

Question

Deje $n\ \in \mathbb N$y la: $$x_n = \ln^2(n+1) - \ln^2n$$ Demostrar que $x_n$ es un almacén de secuencia.

He tomado los siguientes pasos. Considere la posibilidad de $x_n$ $$\begin{align} x_n &= \ln^2(n+1) - \ln^2n = \\ &= (\ln(n+1) + \ln n)(\ln (n+1) - \ln n) = \\ &= \ln \frac{n + 1}{n}\cdot \ln (n(n+1)) = \\ &= \ln\left({1 + {1\over n}}\right)\cdot \ln(n(n+1)) \end{align}$$

Ahora se multiplica y se divide por $n$: $$\begin{align} x_n &= {n \over n} \ln\left({1 + {1\over n}}\right)\cdot \ln(n(n+1)) = \\ &= \ln\left({1 + {1\over n}}\right)^n \cdot\ln \sqrt[^n]{(n(n+1))} \end{align}$$

Ahora consideremos $\left({1 + {1\over n}}\right)^n$. Hay un montón de pruebas de que es acotada. En mi caso he usado la expansión con los coeficientes binomiales para demostrar que :

$$2< \left({1 + {1\over n}}\right)^n < 3 \implica \\ \ln2 < \ln \left({1 + {1\over n}}\right)^n < \ln3$$

Así que ahora queremos demostrar que $\ln \sqrt[^n]{(n(n+1))}$ está acotada. Empezar con la siguiente:

$$\ln \sqrt[^n]{n(n+1)} < \ln \sqrt[^n]{(n+1)^2}$$

Considere la siguiente ecuación:

$$\begin{align} \sqrt[^n]{(n+1)^2} &= 1+a_n \iff \\ \iff (n+1)^2 &= (1+a_n)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_n^k \end{align}$$

Ahora:

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_n^k \ge \frac{n(n+1)}{2}a_n^2 \implica \\ \implica (n+1)^2 \ge \frac{n(n+1)}{2}a_n^2 \implica \\ \implica a_n \le \sqrt{2 + {2\sobre n}}$$

Por lo $a_k$ es claramente delimitado. Lo que significa:

$$\sqrt[^n]{(n+1)^2} < 1 + \sup\{a_n\} = 3$$

También se $\sqrt[^n]{(n+1)^2} > 1$. Así:

$$\ln1 < \ln \sqrt[^n]{(n(n+1))} < \ln3$$

Ahora, volviendo a la expresión inicial:

$$\ln1 \cdot \ln2 < \ln\left({1 + {1\over n}}\right)^n \cdot\ln \sqrt[^n]{(n(n+1))} < \ln3 \cdot \ln3$$

Significado $x_n$ está acotada. He perdido de algo?

Answer 1

Es bien hecho. Sólo quiero observar que es bastante fácil demostrar que $0$ es un límite inferior de la secuencia. De hecho, $$(\forall n\in\mathbb{N}):n+1>n\implies\ln(n+1)>\ln n\implies\ln^2(n+1)>\ln^2n$$ and therefore $$(\forall n\in\mathbb{N}):\ln^2(n+1)-\ln^2n>0.$$

Answer 2

Usted puede escribir $$x_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n+\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln(n+1)$$ Desde $$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln(n+1)$$ usted sólo tiene que demostrar que $$y_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln(n+1)$$ es superior acotada. Ahora $$y_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n + \left(\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^{\!2}$$ El segundo sumando es limitada porque tiene límite de $0$. El primer sumando tiene límite cero, porque $$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n<n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$ y la secuencia de $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ está acotada. En realidad, $$\lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\ln n=0$$ como usted debe ser capaz de demostrar.

Answer 3

Por medio del teorema del valor de $f(x)=\ln^2x$ en $[n,n+1]$ existe $n<\xi<n+1$ tales que $$\ln^2(n+1)-\ln^2(n)=2\dfrac{\ln\xi}{\xi}<2$$ debido a $\ln\xi<\xi$. También se $\ln$ es el aumento de entonces $$\ln^2(n+1)-\ln^2(n)>0$$

Answer 4

Otro concisa opción: $\ln(n+1)<\ln n+\frac{1}{n}$ lo $0<\ln^2(n+1)-\ln^2 n<2\frac{\ln n}{n}+\frac{1}{n^2}<2\cdot 1+1=3$.

Answer 5

Lagrange del teorema proporciona una línea:

$$\log^2(n+1)-\log^2(n) = \frac{d}{dx}\left.\log^2(x)\right|_{x=\xi\in(n,n+1)},\quad \frac{2\log\xi}{\xi}\to 0\text{ as }n\to +\infty.$$