Isomorfismo entre el $(V^*)^{\otimes k}$ $(V^{\otimes k})^*$

Question

Hay un isomorfismo natural entre el$(V^*)^{\otimes k}$$(V^{\otimes k})^*$ ?

No sé cómo proceder y se aprecia una sugerencia. Gracias!

$(V^{\otimes k})^*$ es un espacio vectorial y así es isomorfo a $(V^{\otimes k})$. Ahora, necesito mostrar isomorfismo entre el$(V^*)^{\otimes k}$$(V^{\otimes k})$. Yo no puede proceder más allá de este punto.

Aquí dual de un espacio vectorial $W$$W^*$.

Answer 1

Por definición, existe un natural de doble emparejamiento $V \otimes V^{\ast} \to k$ ($k$ el campo subyacente). Aplicar el doble de emparejamiento $n$ veces para obtener un natural de emparejamiento

$$V^{\otimes n} \otimes (V^{\ast})^{\otimes n} \to k.$$

Esto le da un natural mapa de $(V^{\ast})^{\otimes n} \to (V^{\otimes n})^{\ast}$. Se puede mostrar que es un isomorfismo (al $V$ es finito-dimensional)?