Hacer una infinidad de puntos en un plano con el entero distancias se encuentran en una recta?

Question

Alguien envió una pregunta en el tablón de anuncios en mi biblioteca de la Universidad. He estado pensando en ello durante un tiempo, pero no veo cómo esto es posible. Podría alguien compruebe que esta es una pregunta válida y me apunte en la dirección correcta?

"Dado un conjunto infinito de puntos en un plano, si la distancia entre dos puntos es un número entero, demostrar que todos estos puntos se encuentran sobre una línea recta.'

Answer 1

MR0013511 (7,164 a) Anning, Norman H.; Erdős, Pablo Integral de las distancias. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 51, (1945). 598-600.

Los autores muestran que para cualquier n existen puntos no colineales $P_1,\dots,P_n$ en el plano de tal manera que todas las distancias $P_iP_j$ son enteros; pero no existe un conjunto infinito de la no-puntos colineales con esta propiedad. Revisado por I. Kaplansky

Puedo agregar que el primer resultado mencionado requiere gran cantidad de puntos para estar en un círculo. Creo que el actual récord de puntos en el plano con todas las distancias enteros, no hay tres en una línea, no 4 en un círculo, es de 8.

Answer 2

Dicen $A$, $B$ y $C$ son de tres puntos con pares de enteros distancias. Cualquier otro punto de $P$ con el entero de las distancias de los tres va a satisfacer $|AP-PB| \leq AB$$|AP-PC| \leq AC$, por la desigualdad de triángulo. Por lo $P$ se encuentra en una intersección de una hipérbola $|AP-BP| = k$ (para algunos entero $k \leq AB$) y una hipérbola $|AP-PC| = m$ (para algunos entero $m \leq AC$). Hay un número finito de estos puntos de $P$ (en la mayoría de las $4\;AB\;AC$).

(Me sorprendería si el argumento de la Anning y Erdős de papel es muy diferente de esto.)