Significado del teorema de hasse-arf

Question

Estoy leyendo sobre el teorema de Hasse-Arf en los 'Campos locales' de Serre y me cuesta mucho entender qué significa exactamente que la numeración superior tenga saltos solo en números enteros. Parece un resultado bastante arbitrario en los índices. ¿Cuál es una buena manera de pensar acerca de este teorema? ¿Hay consecuencias esclarecedoras o casos especiales?

Answer 1

La pregunta sobre el "interés" de una idea o de un resultado puede presentar muchos aspectos. En el caso específico aquí, fijar una base local de campo $K$ en el sentido de Serre del libro. Entonces:

1) Para una extensión de galois $L/K$ grupo $G$ (no necesariamente finita), dos filtraciones pueden ser definidos en $G$, la más baja de filtración $G_u$ (real $u\ge -1$), y la parte superior de la filtración $G^v=G_{\psi(v)}$. Tal y como destacó por Serre en algún lugar en su cap. IV, la parte inferior de la numeración es adaptado a los subgrupos, en el sentido de que $H_u=H\cap G_u$, mientras que la parte superior de numeración se adapta a los cocientes, $(G/H)^v=G^vH/H$. En un comentario después de la prueba de la proposición. 14 de IV, 3, Serre incluso le da un unificada numerotation $G(t)$.

2) La Hasse-Arf thm. los estados que, si $G$ es abelian, luego de un salto $v$ en la parte superior de la filtración debe ser un entero; en otros términos, si $G_u \neq G_{u+1}$, a continuación, $\phi (u)$ es un número entero. Esto le da no triviales "congruential" la información en la parte inferior de los saltos. Por ejemplo, tratar de dar una prueba directa en el ejemplo simple de una finito cíclico $p$ - extensión, y vas a ver que esto está lejos de ser obvio.

3) lo Más importante es que las aplicaciones locales CFT, véase cap. XV. Si $G$ es abelian (no necesariamente finita), la reciprocidad homomorphism $\theta: K^* \to G$ envía la filtración ${U_K}^v$ del grupo de la unidad de $U_K$ sobre la filtración $G^v$. Más precisamente, si $G$ es abelian finito, $\theta$ induce una iso. $K^*/N(L^*) \cong G$, donde $N$ es la norma de la $L/K$, y si además $L/K$ es totalmente ramificado, iso $\theta_n : {U_K}^n/{U_K}^{n+1}N({U_L}^{\psi (n)}) \cong G^n/G^{n+1}$ para cualquier entero $n$. Una aplicación específica de la Hasse-Arf thm. las preocupaciones de la llamada explícita a la reciprocidad de las leyes. Independientemente de CFT, el uso de polinomios de un cierto tipo, se obtiene un normic iso. $N_n : {U_L}^{\psi (n)}/{U_L}^{\psi (n+1)} \to {U_K}^n/{U_K}^{n+1}$ (V, 6), así como la iso. $\delta_n : {U_K}^n/{U_K}^{n+1}N({U_L}^{\psi (n)})\cong G_{\psi(n)}/G_{\psi(n) +1}$ (XV, 2). Por definición, $G_{\psi(n)}=G^n$, y por el Hasse-Arf thm. $G_{\psi(n) +1}=G^{n+1}$. De ello se desprende que $\delta_n$ e $\theta_n$ tienen el mismo objetivo, y se puede demostrar que en realidad $\theta_n (x)=\delta_n (x^{-1})$, por lo tanto, un explícito de la ley de reciprocidad.

Me abstengo de evocar otras aplicaciones tales como el conductor de una extensión de galois, que nos lleve demasiado lejos ./.