Paquete canónico de explosión en punto singular.

Question

Deje $X$ ser una compleja variedad/ colector con un singular punto de $x_0\in X$. Si nos explotan $X$ a $x_0$, obtenemos un smoot variedad/colector con divisor excepcional $Y$. ¿Cómo podemos calcular el canónica de la línea de paquete de $\omega_{\tilde X}$ de $\tilde X:=Bl_{x_0}X$?

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Si $X$ era suave, a continuación, el cálculo de $\omega_{\tilde X}$ se realiza en severalsteps:

• Sabemos que el golpe mapa de $\pi:\tilde X\to X$ cuando se limita a $\tilde X\setminus Y$ es un isomorfismo con la imagen de $X\setminus x_0$. Por lo tanto $\omega_{\tilde X}=\pi^* \omega_X \otimes \mathcal O_{\tilde X}(Y)^{\otimes a}$ para algunos $a\in \mathbb Z$.
• Contigüidad de $i:Y\hookrightarrow \tilde X$ implica $\omega_Y=i^*\omega_{\tilde X} \otimes N_{Y/\tilde X}$
• Usando ese $Y=\mathbb P^{n-1}$ y la inserción de la primera ecuación en la segunda obtenemos $$\mathcal O_Y(-n)= i^* \pi^* \omega_X \otimes \mathcal O_Y(Y)^{\otimes a+1} $$
• Desde $\pi\circ i$ es constante y el normal bundle $\mathcal O_Y(Y)=\mathcal O_Y(-1)$, esto implica $n=a+1$. Por lo tanto $$\omega_{\tilde X}=\pi^* \omega_X \otimes \mathcal O_{\tilde X}(Y)^{\otimes n-1} $$

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Pero, ¿cómo puedo generalizar este argumento para el caso de $x_0$ ser un punto singular? Una cosa es el cambio, que la normal en paquete podría no ser $\mathcal O_Y(-1)$ más, pero esto no es problema.
Lo que me molesta más es el ansatz $$\omega_{\tilde X}=\pi^* \omega_X \otimes \mathcal O_{\tilde X}(Y)^{\otimes a}.$$ Podemos incluso escribir esto? Es la canónica bundle $\omega_X$ bien definida? Puede que en lugar de trabajar con $\omega_{X\setminus x_0}$. (Pero entonces el pullback por $\pi$ no es un paquete en la $\tilde X$). Y si hay una línea bundle $L$ a $X$ tal que $\omega_{\tilde X}=\pi^* L \otimes \mathcal O_{\tilde X}(Y)^{\otimes a}$, ¿cómo tenemos que modificar el resto de la discusión?

Actualización: En los comentarios se señaló, que en singular variedades todavía tiene un canónica de la gavilla. Hace la prueba por encima de generalizar, simplemente mediante la sustitución de canonical paquete con canónica gavilla?

Answer 1

Primero, una nota acerca de la "canónica paquete" $\omega_X$ se refieren a: los regímenes no tienen necesidad de $\omega_X$ ser una línea de paquete, ni siquiera una gavilla todo el tiempo (en general, es un complejo sistema de poleas que viven en un derivado de la categoría). Así que sabiendo que de algún sistema tiene una canónica paquete ya es algo - que significa que la $X$ es Gorenstein (y, correspondientemente, a sabiendas de que es una gavilla significa que el esquema es Cohen-Macaulay). Muchos/la mayoría de los esquemas que se encuentran en la naturaleza tienen dualizing complejos, y están perfectamente bien definidas. (Estoy de cobertura un poco en el idioma aquí porque nunca he encontrado un plan, sin una dualizing complejo, pero no tengo referencia de que los detalles de cualquiera de las clases conocidas de los esquemas sin dualizing complejos. Tal vez esto es motivo para otra pregunta!)

Otro problema relacionado es que puede suceder que $f^*(\omega_X)|_{X^{sm}}$ no se extiende a una línea de bulto en el conjunto de la $\widetilde{X}$ - incluso cuando las singularidades de $X$ están en su mejor comportamiento, puede ser necesario considerar la posibilidad de algún poder de $\omega_X$.

Ahora para respuestas específicas acerca de su consulta acerca de $\omega_{\widetilde{X}} = \pi^*\omega_X \otimes \mathcal{O}_{\widetilde{X}}(Y)^{\otimes a}$. Supongamos $X$ es normal variedad con $\Bbb Q$-Cartier canónica de la clase $K_X$. Si $f:\widetilde{X} \to X$ es una resolución de singularidades, entonces tenemos que $K_{\widetilde{X}} = f^*K_X + \sum a_iE_i$ donde $K$ es el divisor canónico, el $E_i$ son los divisores excepcionales, y $a_i$ son números racionales (conocido como discrepancias). Este es esencialmente equivalente a la ansatz que hemos enumerado: una adecuada definido por la resolución de singularidades es un isomorfismo en el buen lugar, así que todo lo que se necesita para ajustar con el fin de obtener la canónica de la clase de la resolución es algo para hacer con los divisores excepcionales.

Si usted está interesado en un determinado singularidad, usted necesitará conseguir sus manos sucias en este punto con el fin de calcular lo que el $a_i$ . Un obstáculo es que a menudo hay muchos diferentes secuencias de imágenes ampliadas que uno puede tomar con el fin de producir una resolución de singularidades, y pueden producir diferentes conjuntos de $a_i$ - normalmente, las singularidades son clasificados por la forma en que estos $a_i$ ajuste en diferentes regiones de frontera: terminal/canónico/log-terminal/log-canónico/no-log-canónica dependiendo de si todos los $a_i$ se $>0$, $\geq 0$, $>-1$, $\geq -1$, o algunos $a_i < -1$. Estas clasificaciones son las que persisten a través de todas las resoluciones posibles de las singularidades.