Determinante de un $3\times 3$ matriz en la forma más simple.

Question

Dejemos que $\alpha$ y $\beta $ sean reales fijos no nulos y $f(n)=\alpha^n+\beta^n$ con $$A=\begin{pmatrix} 3&1+f(1)&1+f(2)\\1+f(1)&1+f(2)&1+f(3)\\ 1+f(2)&1+f(3)&1+f(4) \end{pmatrix}.$$ Cómo encontrar el determinante de la matriz $A$ es decir $|A|,$ ¿en la forma más sencilla? En primer lugar, pensé que la matriz puede ser de una forma particular. Pero no es ni una matriz circulante ni de tipo Vandermonde ni de tipo tridiagonal. Entonces intenté la propiedad multilineal en las columnas de la matriz dada como abajo:

$$\det\begin{pmatrix} 3&1+f(1)&1+f(2)\\1+f(1)&1+f(2)&1+f(3)\\ 1+f(2)&1+f(3)&1+f(4) \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} 3&1+f(1)&1\\1+f(1)&1+f(2)&1\\ 1+f(2)&1+f(3)&1 \end{pmatrix} +\det\begin{pmatrix} 3&1+f(1)&f(2)\\1+f(1)&1+f(2)&f(3)\\ 1+f(2)&1+f(3)&f(4) \end{pmatrix} $$ Además aplico la propiedad multilineal en las columnas pero no obtuve mi respuesta. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Una pista: Considere $$ \left(\begin{matrix} 1&1&1\\1&\alpha&\beta\\ 1^2&\alpha^2&\beta^2 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&1&1^2\\1&\alpha&\alpha^2\\ 1&\beta&\beta^2 \end{matrix}\right). $$ ¿Lo reconoces ahora?

Posiblemente de forma más sistemática: Reconocer cada columna de $A$ es una combinación lineal de vectores $$ u=\left(\begin{matrix}1\\ 1 \\1 \end{matrix}\right),\quad \ v=\left(\begin{matrix}1\\\alpha\\ \alpha^2\end{matrix}\right),\quad \ w=\left(\begin{matrix}1\\ \beta\\ \beta^2\end{matrix}\right),$$ exprese la matriz como $$ A=(u+\ v+ w\ ,\ \ u+\alpha v+\beta w\ ,\ \ u+\alpha^2 v+ \beta^2 w). $$ En cuanto a $u,v,w$ como si fueran números, si es necesario, $$ A=(u,v,w)\left(\begin{matrix} 1&1&1\\1&\alpha&\alpha^2\\ 1&\beta&\beta^2 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1&1&1\\1&\alpha&\beta\\ 1&\alpha^2&\beta^2 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1&1&1\\1&\alpha&\alpha^2\\ 1&\beta&\beta^2 \end{matrix}\right). $$