Encuentre un espacio topológico no vacío y no finito $X$ que satisfaga:
¿Es el par conectado $\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ un buen ejemplo de dicho espacio que satisface la primera condición?
Gracias por tu ayuda.
Hay una teoría general de los limitados espacios topológicos que hace preguntas como esta es fácil de responder. En particular, aquí están algunas de las principales teoremas.
Teorema 1: Vamos a $X$ ser un conjunto preordenado. A continuación, $X$ se puede dar una topología por decir un subconjunto $U\subseteq X$ es abrir el fib para todos los $x\in U$ e $y\leq x$, $y\in U$. Por el contrario, cada finito topológica del espacio surge a partir de un conjunto preordenado de esta manera y esto le da un isomorfismo de categorías entre la categoría de finito de conjuntos preordenados y finito de espacios topológicos (es decir, continua mapas son la misma cosa como el fin de la preservación de los mapas).
Prueba de croquis: La primera parte es fácil, como lo es la declaración de que continua mapas son los mismos que el fin de la preservación de los mapas. Para probar cada finito topológica del espacio surge de esta manera, dado un espacio topológico $X$, definir un preorder $\leq$ por $x\leq y$ fib $y\in\overline{\{x\}}$. Ahora a comprobar si $X$ es finito, su topología debe coincidir con la topología dada por este preorder.
El uso de este teorema, vamos a tratar finito de conjuntos preordenados y finito de espacios topológicos como intercambiables, y siempre considerar conjuntos preordenados como tener la topología descrita anteriormente.
Teorema 2: Deje $X$ e $Y$ ser preordenado conjuntos y $f,g:X\to Y$ ser el fin de la preservación de los mapas. Entonces si $f(x)\leq g(x)$ para todos los $x$, $f$ e $g$ son homotópica como continua mapas.
Prueba: Considerar la homotopy $H(x,t)=f(x)$ para $t\in[0,1)$ e $H(x,1)=g(x)$.
Teorema 3 (McCord): Vamos a $X$ ser un conjunto preordenado, y deje $N(X)$ ser su nervio. Entonces existe un natural mapa de $|N(X)|\to X$ que es un débil homotopy de equivalencia.
Este teorema es mucho más profundo y más difícil de probar que los otros. Usted puede encontrar una prueba en McCord papel Singular en la homología de grupos y homotopy grupos de finito de espacios topológicos.
Corolario: Vamos a $K$ ser un complejo simplicial y deje $X$ ser parcialmente ordenado conjunto de caras de $K$. Entonces hay una débil homotopy equivalencia $|K|\to X$.
Para deducir el Corolario del Teorema 3, tenga en cuenta que $N(X)$ es exactamente el simplicial serie correspondiente a la primera subdivisión baricéntrica de $K$, con lo que hay un canónica homeomorphism $|K|\cong |N(X)|$.
Usando el Corolario, podemos obtener rápidamente una respuesta a su pregunta: acaba de tomar cualquier conectados finito simplicial complejo de $K$ tal que $\pi_1(|K|)\cong\mathbb{Z}/2$, y deje $X$ ser el poset de las caras de $K$, considerado como un espacio topológico como en el Teorema 1. Por ejemplo, usted podría tomar $K$ a ser una triangulación de $\mathbb{R}P^2$.
Alternativamente, aquí es una modificación de la idea de William respuesta que trabaja para dar un pequeño ejemplo de lo que usted puede obtener a partir de una triangulación de $\mathbb{R}P^2$ y sin necesidad de utilizar toda la potencia del Teorema 3. Empezamos con el poset $FS(4)$ que tiene cuatro puntos de $a,b,c,d$ ordenado por $a,b\leq c,d$. Este poset es débil equivalente a $S^1$, y, en particular, $\pi_1(FS(4))\cong\mathbb{Z}$. (Usted puede verificar que $\pi_1(FS(4))\cong\mathbb{Z}$ sin usar el Teorema 3 explícitamente la construcción de una cobertura universal.) Hay una doble cubierta de la $p:FS(8)\to FS(4)$ correspondiente al subgrupo de índice $2$ en $\pi_1(FS(4))$. Explícitamente, podemos escribir $FS(8)=\{a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,d_1,d_2\}$ con el fin de $$a_1\leq c_1\geq b_1\leq d_1\geq a_2 \leq c_2 \geq b_2\leq d_2\geq a_1$$ and the $p$ el más evidente es el mapa que las gotas de los subíndices.
Ahora, la idea es construir un número finito de "asignación de cono" de $p$. Para ello, considere el poset $I(3)$ con tres puntos de $\{0,1/2,1\}$ ordenado por $1/2\leq 0,1$. (Si este orden parece extraño, tenga en cuenta que el nervio de este poset tiene dos no degenerada 1-simplices $\{0,1/2\}$ e $\{1/2,1\}$ que se pegan en $1/2$, por lo que este es un modelo finito para un intervalo de con $0$ e $1$ en los extremos. También hace $\{0,1/2\}$ e $\{1/2,1\}$ abierto, que será importante para el uso de van Kampen a continuación). Consideremos ahora el espacio $$X=FS(8)\times I(3)/\sim$$ where $\sim$ is the equivalence relation that collapses all of $FS(8)\times\{1\}$ to a point and collapses $FS(8)\times\{0\}$ to a copy of $FS(4)$ by the equivalence relation given by $p$. We think of $X$ as a union $\{1\}\taza de FS(8)\cup FS(4)$, where $\{1\}$ is the image of $FS(8)\times\{1\}$, $FS(8)$ is the image of $FS(8)\times \{1/2\}$, and $FS(4)$ is the image of $FS(8)\times\{0\}$.
Puedo reclamar $\pi_1(X)\cong\mathbb{Z}/2$. Para probar esto, deje $U=FS(4)\cup FS(8)\subset X$ e $V=FS(8)\cup\{1\}\subset X$. A continuación, $U$ e $V$ están abiertas en $X$ y trayectoria-conectado, y $U\cap V=FS(8)$ es también la ruta de acceso conectado, por lo que podemos utilizar para calcular $\pi_1(X)$ por van Kampen del teorema.
Para identificar a $\pi_1(U)$, vamos a $f:U\to U$ ser el mapa que es la identidad de $FS(4)$ e es $p$ a $FS(8)$. Tenga en cuenta que el $FS(8)$ e $FS(4)$ dentro $U$ están ordenadas de modo que a cada elemento de a$FS(8)$ es menor que la de su imagen bajo $p$ en $FS(4)$ (esto es debido a que se utilizó el producto de pedidos en $FS(8)\times I(3)$ para la construcción de $X$ e $1/2\leq 0$ en $X$). De ello se desprende que $x\leq f(x)$ para todos los $x\in U$, y por lo $f$ es homotópica a la identidad del mapa por el Teorema 2. Por lo tanto $U$ deformación-se retrae a $FS(4)$ e lo $\pi_1(U)\cong\mathbb{Z}$. Por otra parte, la inclusión del mapa de $U\cap V\to U$ hace $p:FS(8)\to FS(4)$ cuando se compone con esta deformación de retracción, y así el mapa de $\pi_1(U\cap V)\to\pi_1(U)$ puede ser identificado con la inclusión $2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$.
De la misma forma, podemos mostrar que $\pi_1(V)$ deformación-se retrae a $\{1\}$ y por lo tanto es contráctiles (sólo reemplace $p$ con la constante mapa de $FS(8)\to \{1\}$ todas partes en la discusión anterior). Así, por medio de van Kampen, $$\pi_1(X)\cong\pi_1(U)*_{\pi_1(U\cap V)}\pi_1(V)\cong\mathbb{Z}*_{2\mathbb{Z}}\{1\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$
Actualización: Eric Wofsey señala en los comentarios de que la construcción tenía no funciona como se indica. Yo tenía el derecho-ish idea, pero la correcta detalles están contenidos en Eric respuesta.
Tengo algunas ideas de cómo se podría construir un ejemplo en un espacio con menos de $27$ puntos, pero hay detalles que no he trabajado. La idea es tratar de imitar el CW de la construcción donde se adjunta un disco a un círculo con un mapa de grado $2$ sobre el límite.
Paso 1: Hay un modelo finito de la circunferencia con $4$ puntos, llamados el pseudocircle. Deje $FS(4)=\{a, b, c, d\}$, con una topología
$$ \left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\emptyset \right\}.$$ Entonces hay una débil equivalencia $S^1 \to FS(4)$, explicado en detalle en el artículo de la wikipedia.
Paso 2: Eric Wofsey señala en los comentarios de que no es de hecho un $8$-modelo de punto de la circunferencia $FS(8)$ y una doble cubierta de la $f\colon FS(8)\to FS(4)$ que es la multiplicación por $2$ en el grupo fundamental. Este es el doble de la cubierta correspondiente al índice de $2$ subgrupo de $\pi_1 FS(4)$.
Para la "conexión de un disco" parte, usted necesita tener cuidado acerca de lo que entendemos por "cono". El modelo de cono quiero utilizar será de la forma $X\times(\text{interval})/(\text{one of the ends})$, por lo que debemos especificar qué entendemos por un intervalo. Creo que el modelo de intervalos que yo quiera ser los conjuntos de $\underline{n} = \{0,\dots,n\}$ donde la base de su topología está mirando hacia abajo de los rayos (edit: esto no es el derecho de la topología, a ver a Eric la respuesta): se trata de trayectoria-conectado, contráctiles de los espacios, lo que representa un intervalo de longitud de $n$. Mi conos serán
$$C_nX = (X\times \underline{n})/(X\times \{n\}).$$
Este espacio contiene $n$ paralelo copias de $X$ junto con un "cono" punto de que el espacio se retrae en.
Paso 3: Deje $Y=C_2(FS(8))$, y forma el cociente del espacio
$$ Z = Y \cup_f FS(4). $$
A continuación, $Z$ tiene 13 puntos. Ahora debemos ser capaces de utilizar van-Kampen para mostrar el grupo fundamental de la es $\mathbb{Z}/2$. Para un conjunto abierto creo que queremos que el subespacio $U_1 = (X\times \{1, 2\})/(X\times \{2 \})\subset Y$ que es contráctiles, y el otro conjunto $U_2$ es el cociente de $X\times \{0, 1\}$ por $f$, que se repliega en la $4$-punto de círculo. Su intersección es el $8$-punto de círculo (edit: de nuevo, he utilizado el mal topología así que esta no será abierto, a ver a Eric la respuesta), cuya inclusión en $U_2$ induce la multiplicación por $2$ en el grupo fundamental.
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