Considero que un buen ejemplo de una función que es débilmente medibles pero no es fuertemente medible. Por desgracia, yo no la entiendes.
Deje $X=l_2([0,1])$. A continuación, $X$ equipado con un estándar de producto interior es un nonseparable espacio de Hilbert. Desde cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormales, vamos a $\{e_t\,:\, t\in[0,1]\}$ denotar una base ortonormales de $X$. Definir un mapa de $f:[0,1]\to X$por $$f(t):=e_t$$ para todos los $t\in [0,1]$. Suponga que el de la medida $\mu$ a considerar es el Lebesque medida en $[0,1]$. En primer lugar, me gustaría demostrar que $f$ es débilmente-$\mu$ medibles. Pick $x^*\in X^*$. Entonces, invocando la Representación de Riesz Teorema podemos deducir que no es único, $x\in X$ tales que $$\langle x^*, f(t)\rangle_{X^*\times X}=\langle x, f(t) \rangle_{X}.$$ Por lo tanto, en nuestra situación, obtenemos que $$\langle x^*, f(t)\rangle_{X^*\times X}=\langle x, f(t) \rangle_{X}=\langle x, e_t \rangle_{X},$$ para todos los $t\in [0,1]$. Cómo deducir que una función $g(t)=\langle x^*, f(t)\rangle_{X^*\times X}=0$ $\mu$ a.e. en $[0,1]$??? El único que viene a mi mente es que $x=\sum_{t\in[0,1]}\langle x, e_t\rangle e_t$, por lo que $$\langle x^*, f(t)\rangle_{X^*\times X}=\langle x, f(t) \rangle_{X}=\langle x, e_t \rangle_{X}=\langle \sum_{t\in[0,1]}\langle x, e_t\rangle e_t, e_t \rangle_{X}=\sum_{t\in[0,1]}\langle x, e_t\rangle.$$ De todos modos, tener ese $\langle x^*, f(\cdot)\rangle$ es $0$ $\mu$ a.e. le dará a su measurablity y en consequance la débil measurablity de $f$.
Cómo probar que $f$ no es fuertemente medible? Trato de argumentar por la contradicción. Suponga que $f$ es strongle measurble. Entonces, por Pettis del teorema, podemos deducir que existe un subconjunto $E\subset[0,1]$ tal que $\mu(E)=0$ e $f([0,1]\setminus E)$ es (norma) separables. Si $\mu(E)= 0$, podemos deducir que $E$ es en la mayoría de los contables y por lo $[0,1]\setminus E$ es incontable. Caliente para obtener una contradicción ahora?
