Dado $n^2$ diferentes números de un campo de formulario de una $n$-grado de la matriz, demostrar que el determinante puede tomar en la mayoría de las $$\frac{(n^2)!}{(n!)^2}$$ valores.
El número de diferentes matrices es $(n^2)!$. Por lo que es suficiente para demostrar que para cada matriz, se $(n!)^2$ matrices que tienen el mismo determinante.
Para una matriz dada, podemos organizar sus columnas, de forma arbitraria, y después de cada columna, se puede realizar una fila de acuerdo a ella.
Así que en virtud de tales operaciones, esta matriz puede producir $(n!)^2$ diferentes matrices.
Si queremos que la posterior de la matriz a tienen el mismo determinante como el dado uno, debemos confirmar que el compuesto odevity de la columna y la fila acuerdo aún. Por lo tanto, sólo $ \text{par}\times\text{par} $y $ \text{impar}\times\text{impar} $ puede producir el mismo determinante.
Por lo tanto, sólo puedo encontrar $\frac{(n!)^2}{2}$ matrices que tienen el mismo determinante de cada matriz dada.
Así que mi pregunta es ¿dónde están los "otros" $\frac{(n!)^2}{2}$ matrices?
