Diferenciación de vector

Question

en la siguiente ecuación, $\mathbf w$ es un vector con componentes de $w_0$ e $w_1$. $x^{(i)}$ e $y^{(i)}$ son constantes.

cómo diferenciar $j(\mathbf w)$ w.r.t. $w_0$ e $w_1$

$j(\mathbf w) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)$

Answer 1

Poner $$ \nabla j(\mathbf{w})= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial j}{\partial w_0}\\ \dfrac{\partial j}{\partial w_1} \end{pmatrix}, $$ si $j(\mathbf w) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)$ hemos $$ \begin{split} \nabla j(\mathbf{w})= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial j}{\partial w_0}\\ \dfrac{\partial j}{\partial w_1} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial w_0}\bigg[\displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)\bigg]\\ \dfrac{\partial}{\partial w_1}\bigg[\displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)\bigg] \end{pmatrix}\\ \\ y=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(-1)\\ \displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5y^{(i)} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \displaystyle-\frac{1}{2}\\ \displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5y^{(i)} \end{pmatrix}, \end{split} $$ mientras que si $j(\mathbf w) = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)^2$ $$ \begin{split} \nabla j(\mathbf{w})= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial j}{\partial w_0}\\ \dfrac{\partial j}{\partial w_1} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial w_0}\bigg[\displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)^2\bigg]\\ \dfrac{\partial}{\partial w_1}\bigg[\displaystyle\frac{1}{10}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)^2\bigg] \end{pmatrix}\\ \\ y=\begin{pmatrix} \displaystyle-\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0)\\ \displaystyle\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5y^{(i)}(x^{(i)}+w_1y^{(i)}-w_0) \end{pmatrix}, \end{split} $$ El método es siempre el mismo: se debe diferenciar termwise cada término de la suma. Esto también es cierto si usted desea calcular mixtos derivados (que en este caso son invariantes respecto a la orden de la diferenciación) $$ \dfrac{\partial^2 j(\mathbf{w})}{\partial w_0\partial w_1}=\dfrac{\partial }{\partial w_0}\bigg[\dfrac{\partial j(\mathbf{w})}{\partial w_1}\bigg]=\dfrac{\partial }{\partial w_1}\bigg[\dfrac{\partial j(\mathbf{w})}{\partial w_0}\bigg]=\dfrac{\partial^2 j(\mathbf{w})}{\partial w_1\partial w_0} $$ o, si $(w_0,w_1)=\big(w_0(t),w_1(t)\big)$, se desea calcular el total de los derivados del respeto a $t$: $$ \dfrac{\mathrm{d} j(\mathbf{w})}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\partial j(\mathbf{w})}{\partial w_0}\dfrac{\mathrm{d} w_0(t)}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\partial j(\mathbf{w})}{\partial w_1}\dfrac{\mathrm{d} w_1(t)}{\mathrm{d}t} $$

Answer 2

El diferencial de la suma es la suma del diferencial.

Luego viene un cuadrado, usa la regla de poder $(u^2)' = 2 u u'$ .