Lemma de Burnside , cuya lista de nombres es más larga que la prueba, dice que el número de órbitas de un grupo de permutación es el número medio de puntos fijos de sus elementos. Es un resultado muy elegante, pero me decepciona un poco el hecho de que los ejemplos que se dan en los libros de texto se reducen siempre a contar algunas coloraciones de un objeto simétrico, hasta la simetría (el ejemplo menos original es probablemente el cubo). Mi pregunta es entonces: ¿conoces algunas aplicaciones más divertidas (pero todavía bastante directas) de este resultado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El lema de Burnside puede utilizarse para demostrar la Teorema de la enumeración de Polya que tiene muchas aplicaciones; véase, por ejemplo, estos dos entradas del blog. La aplicación a los grupos simétricos por sí sola es la conocida fórmula exponencial en combinatoria, que tiene muchas aplicaciones; véase esta entrada del blog .
También tiene aplicaciones a la teoría de la representación. Si $X$ es un conjunto en el que un grupo $G$ actúa, entonces el espacio vectorial libre en $X$ es una representación $V$ de $G$ con carácter $\text{Fix}(g)$ . El lema de Burnside y las relaciones de ortogonalidad indican entonces que la dimensión del subespacio invariante de $V$ es el número de órbitas de la acción de $G$ en $X$ . También te dicen que si $V$ se descompone como una suma directa $\oplus n_k V_k$ donde el $V_k$ son irreducibles, entonces $\sum n_k^2$ es el número de órbitas de $G$ actuando sobre $X \times X$ . En particular, si $G$ actúa de forma doblemente transitiva hay dos órbitas de este tipo, por lo que $V$ es la suma de una representación trivial y una representación irreducible.
(Esta aplicación a la teoría de la representación, a su vez, tiene aplicaciones a la teoría de los grafos. Ver esta entrada del blog .)
Edición: Aquí hay algunas respuestas de MO y math.SE donde he utilizado el lema de Burnside:
- https://mathoverflow.net/questions/50253/can-this-nested-sum-be-expressed-in-terms-of-generalized-harmonic-numbers-and-the/50256#50256
- https://mathoverflow.net/questions/30112/elementary-combinatorial-identity-expressing-binomial-coefficients-as-an-alter/30114#30114
- Colorear las caras de un hipercubo
Quiero señalar una de las aplicaciones que menciono en una de las entradas del blog anteriores y que me parece especialmente "divertida": ¡El pequeño teorema de Fermat! Consideremos el grupo cíclico de orden $p$ actuando sobre el conjunto de cadenas de longitud $p$ de un alfabeto de tamaño $a$ . Por el lema de Burnside el número total de órbitas es
$$\frac{1}{p} \left( a^p + (p-1)a \right)$$
ya que hay un elemento que fija cada cadena y $p-1$ elementos que sólo fijan cadenas que repiten una letra $p$ veces. La integralidad de este número es equivalente al pequeño teorema de Fermat. (Para una generalización, véase estos dos entradas del blog).
marian
Puntos
31
Sí, hay muchas más aplicaciones divertidas, seguro, aquí hay tres de ellas:
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Se puede aplicar para calcular la suma de los recíprocos de los cardinales de todos los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre algún campo con $p$ elementos ( $p$ un primo).
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Se puede aplicar para caracterizar aquellos grupos finitos que tienen un grupo de automorfismo abeliano.
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Se puede aplicar para (¡un juego de palabras!) calcular el orden multiplicativo de algunos $u$ tal que $u$ es coprima de un determinado $n$ (es decir, para calcular el menor $k$ tal que $n$ divide $u^k-1$ ).
Comparto contigo la decepción: se trata de algo tan general que sólo es concebible que el abanico de aplicaciones esté limitado únicamente por la imaginación del usuario...
Simon
Puntos
98
Se puede utilizar para contar el número de clases de isomorfismo de las representaciones de un temblor sobre un campo finito; el lema de Burnside fue utilizado con este fin por Kac y Stanley (véase Sistemas de raíces, representaciones de Quivers y teoría de invariantes por Victor G. Kac).
