Teorema de Pappus

Question

Dada una superficie de revolución $S$ que pueden ser parametrizadas por el mapa $$\mathbf x(u,v) = (f(v)\cos u,f(v)\sen u,g(v)),$$ sobre el conjunto abierto $U =\{(u,v) \in \mathbb R^2 \mid 0 < u < 2\pi, a < v < b\}$, he calculado el área de $S$ a $$\begin{align*} \int_a^b\int_0^{2\pi} |\mathbf x_u \times \mathbf x_v| \, du \, dv = 2\pi\int_a^b |f(v)| \sqrt{(f'(v))^2+(g'(v))^2} \, dv. \end{align*}$$ Si $l$ es la longitud de la generación de la curva de $C$, ¿cómo hace uno para, a continuación, obtener el área de $S$ a escribirse también $$2\pi \int_0^l \rho (s) \, ds,$$ donde $\rho=\rho(s)$ es la distancia al eje de rotación del punto de $C$ correspondiente a $s$? Creo que la longitud del arco $s=\int_a^b |\alpha'(t)| \, dt$, donde $\alpha$ es el espacio de la curva, pero no estoy seguro, en particular, cómo se cambia el intervalo de $[a,b]$ a $[0,l]$ cuando se cambia la variable $v$ a $s$.

Answer 1

Considere $2 \ pi \ int_0 ^ l \ rho (s) \, ds$ Sabemos $s(t)=\int_{a}^t||\alpha'(z)||dz$ . Para curvas regulares, esto es un difeomorfismo de $(a,b)$ a $(0,l)$ donde $l$ es la longitud del arco. Por lo tanto, utilizando el cambio de fórmula variable, vuelva a escribir la integral como $2\pi\int_a^b\rho(s(t))|s'(t)|dt=2\pi\int_a^b|f(t)|\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt$

Answer 2

Usted necesita para su reajuste de parámetros de la curva, en sustitución de $v$ por $s$, donde $$s(v)=\int\limits_a^v\sqrt{f'(v)^2+g'(v)^2}\,dv$$ por lo tanto $ds=\sqrt{f'(v)^2+g'(v)^2}\,dv$. Cuando $v$ toma valores en $[a,b]$, $s$ toma valores en $[0,l]$ donde $l$ es la longitud de la curva. También, $|f(v)|$ es sólo la distancia desde el punto hasta el eje de rotación, por lo que es, precisamente, $\rho(s)$ (se puede hacer el cálculo, pero creo que no hay necesidad de ello),