Encontrar eigenvector solo conociendo a otros eigenvectores.

Question

La matriz de $A \in M_3(\mathbb{R})$ satisfacer $A^t=A$ e $(1,2,1), (-1,1,0)$ son vectores propios de a$A$. Que vector es también un vector propio de a$A$? Alternativas: $(0,0,1)$; $(1,1,-3)$; $(1,1,3)$; no Hay ningún otro autovector.

El problema con este ejercicio es que no sé la matriz $A$, y no tengo ninguna autovalor para empezar. Puedo obtener una matriz con menos variables usando $A = A^t$, pero todavía hay 6 variables. Cualquier consejo o guía es de agradecer.

Answer 1

Como $A$ es simétrico, los vectores propios (para valores propios distintos) son ortogonales.

Entonces, encuentra cuál de los vectores es ortogonal a los dos primeros.

(1,1, -3) es.

Answer 2

Sugerencia: la condición $A^t = A$ le permite usar el teorema espectral.

Sugerencia: Específicamente, el teorema espectral implica que hay una base ortonormal de vectores propios de $A$ .