¿Por qué la partícula en un modelo de anillo no tiene un término de energía potencial?

Question

Estaba pensando en el problema de "partícula en un anillo" como una subdivisión de un problema mayor, es decir, el átomo de hidrógeno. Mientras que en el problema del átomo de hidrógeno, el Hamiltoniano contiene un término de energía potencial, el Hamiltoniano en el problema de "partícula en un anillo" no.

¿Por que es esto entonces? ¿Cuáles son sus implicaciones en la solución matemática a los problemas?

Answer 1

La respuesta corta es que la partícula en un anillo, se define que no tienen posibilidades término de energía (al menos, no más allá de lo que Karsten Theis ha señalado). Una vez que introduce algo en el sistema, entonces no es realmente la partícula en un anillo problema.

Sin embargo, si desea que se relacionan con el átomo de hidrógeno, a continuación, tenga en cuenta que en el átomo de hidrógeno, el potencial de Coulomb es una función de sólo $r$, es decir,

$$V(r) = -\frac{1}{r}$$

en unidades atómicas. En la partícula en un modelo de anillo, el sistema de partículas es ya obligado a ser en un determinado valor de $r$, por lo que incluso si fuéramos a hipotéticamente introducir un Coulomb de tipo potencial $\propto 1/r$, sólo sería una constante. El efecto de tener un potencial constante de energía es sólo a cambio de cada eigenstate en energía por el mismo importe; no tiene efecto físico.

¿Cuáles son las diferencias en las soluciones matemáticas? Bueno, ya la conoces, seguramente; los autoestados del átomo de hidrógeno son atómicos orbitales, mientras que los autoestados de la partícula en un anillo, son simplemente $\exp(\mathrm im\phi)$ con $m \in \mathbb{Z}$ a satisfacer las condiciones de frontera.

Por supuesto, esto $\exp(\mathrm im\phi)$ plazo es de hecho parte de la matemática de la forma de los orbitales atómicos. Esto es debido a que cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, puede sucesivamente separar los diferentes grados de libertad. En primer lugar hay que separar los bits que depende de la $r$, que va a ser la función de onda radial $R(r)$. Entonces usted necesita para resolver el angular de la función de onda $Y(\theta,\phi)$, y la manera de hacer esto es utilizar de nuevo la separación de variables, es decir, asumir la $Y(\theta,\phi) = f(\theta)g(\phi)$. Que te lleva a una ecuación diferencial que se parece a $(-1/g)(\mathrm d^2g/\mathrm d \phi^2) = m^2$, lo que ha $g = \exp(\mathrm im\phi)$ como sus soluciones. Estoy restar importancia a algunos detalles aquí, pero esa es la idea general; consultar por ejemplo, Griffiths' Introducción a la Mecánica Cuántica para el meollo de la cuestión bits.

Answer 2

Hay una energía potencial de algunos tipos: La energía potencial es constante dentro del anillo, e infinitamente alta fuera de ella. Esta es una visión idealizada situación similar a la de la partícula en una caja (unidimensional, bidimensional, tridimensional).

Aunque estos modelos son artificiales y los ideales, que pueden ser utilizados para estimar las propiedades de ciertos conjuntos de moléculas. Por ejemplo, se puede hablar de los espectros de moléculas lineales dobles enlaces conjugados, utilizando el modelo de las dimensiones de la partícula en la caja.

Cuando la configuración de la Hamiltoniana, implícitamente se introdujo un infinitamente alto potencial por las condiciones de contorno y la elección de los sistemas de coordenadas. El electrón libre se movería en tres dimensiones. De las dimensiones de la partícula en la caja, la elección de uno sólo, coordinar restringe el electrón de una dimensión, y las condiciones de contorno de la densidad electrónica de cero en los bordes de la caja, se restringe el electrón a una cierta longitud de la caja. Para la partícula en un anillo, puede elegir un sistema de coordenadas cilíndrico, mantener el radio constante, la altura a - decir - cero y mantener el ángulo como la única coordenada del Hamiltoniano y la función de onda.