Mediana del divisor de los números perfectos pares

Question

Me he dado cuenta de que cuando se enumeran los divisores de los números perfectos pares en orden ascendente, el divisor del medio (supongo que la mediana), es siempre de la forma $2^n$ Si es cierto, ¿hay alguna prueba para esto, o sucede siempre? Sólo he comprobado hasta el octavo número perfecto. Gracias y disculpas por la posible tontería de la pregunta.

Answer 1

Sabemos que todos los números perfectos pares son de la forma $(2^n-1)2^{n-1}$ donde $2^n-1$ es primo, por lo que hay $2n$ divisores. Ignorando el divisor que es el propio número perfecto (para que el resto de $2n-1$ divisores suman el número perfecto), es fácil ver que esos divisores también tienen un ordenamiento simple: $$\underbrace{1,2,\dots,2^{n-1}}_{n},2^n-1,2(2^n-1),\dots,2^{n-2}(2^n-1)$$ La mediana es el $n$ divisor en esta ordenación, que vemos que es $2^{n-1}$ . Por lo tanto, su afirmación es correcta.

Answer 2

Todo número perfecto par es de la forma $n=2^{p-1}(2^p-1)$ con $2^p-1$ de primera.

Por lo tanto, los factores de $n$ son

$1, 2, 2^2, 2^3, ..., 2^{p-1}, 2^p-1, 2(2^p-1), 2^2(2^p-1), 2^3(2^p-1), ...2^{p-2}(2^p-1),$

y el del medio es $2^{p-1}.$