Si$X$ es un espacio complejo de Banach, ¿el conjunto$T \in L(X)$ con kernel de dimensión finita es denso?

Question

Si $X$ es un espacio complejo de Banach, ¿el conjunto $T \in L(X)$ con kernel de dimensión finita es denso? Aquí $L(X)$ es el conjunto de operadores lineales acotados desde $X$ a sí mismo equipado con la topología de la norma.

Edit: sólo me interesa el caso separable.

Answer 1

No. No en general.

Considerar el espacio de complejo delimitada funciones continuas en la bola unidad cerrada, denotado $X$. El equipo esta con la topología usual. Es una de Banach separable espacio. Definir $T\in L(X)$ por $(Tf)(x) = f(0)$. Observamos que en las $||T(f)-T(g)|| = |f(0)-g(0)| < ||f-g||$ por lo que el operador es continua.

Ahora, nosotros sostenemos que tanto la $\ker{T}$ e $X\sim\ker{T}$ son infinitas dimensiones. Tomar la bola unidad cerrada en $\ker{T}$ y llamar a $B$. Observamos que no es compacto y, por tanto, $\ker{T}$ no es finito dimensional: por Arzela-Ascoli, basta observar que las funciones en $\ker{T}$ no equicontinous como la secuencia de $x^{n}$ vive en $\ker{T}$. Una modificación del mismo argumento funciona para $X\sim\ker{T}$.

Vamos a un $U\in L(X)$ con finito dimensionales kernel ser dado. Podemos tomar $x$ en el núcleo de $T$ y no en el núcleo de $U$ por el resultado del último párrafo. Set $x^{\prime} = x/||U(x)||$.

Observar que, desde $x^{\prime}$ está en el núcleo de $T$, $||T-U|| \geq ||T(x^{\prime})-U(x^{\prime})|| = ||U(x)||/||U(x)|| = 1$. Esto completa la prueba.