Prueba de la suma de los ángulos y las identidades de diferencia para seno y coseno sin involucrar los significados geométricos de las funciones

Question

Para identidades bien conocidas.

$$ \ sin (\ alpha \ pm \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta $$ $$ \ cos (\ alpha \ pm \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \ sin \ beta $$

¿Es posible proporcionar una prueba que no implique el significado geométrico de las funciones seno y coseno (es decir, el uso del teorema de Ptolomeo)?

Answer 1

La respuesta es que depende de cómo se defina el seno y el coseno funciones; si tienen una definición geométrica, a continuación, la geometría tiene que venir de alguna parte. De hecho, se relacionan estrechamente con el concepto de semejanza en el plano Euclidiano, y son útiles en este contexto porque triángulos semejantes tienen ángulos iguales.

Seno y coseno están relacionados también con la función exponencial en el plano complejo a través de la identidad de $$e^{ia}=\cos a +i\sin a,$$ y se pueden calcular \begin{align} e^{i(a+b)}&=e^{ia}e^{ib}\\ \cos (a+b)+i\sin (a+b)&=(\cos a +i\sin a)(\cos b +i\sin b)\\ &=(\cos a\cos b-\sin a \sin b)+i(\sin a \cos b+\cos a\sin b). \end{align}

Igualando las partes reales e imaginarias, a continuación, da lo que queremos, y esto es aplicable en general. Algunos geométrica de las pruebas y construcciones sólo se aplican a un rango específico de valores o requiere considerar varios casos.

Answer 2

He aquí un enfoque que recientemente asignadas como tarea que no necesita nada más que un simple cálculo de los hechos. No hay números complejos, en particular.

Supongamos que sólo conocen los siguientes: $$\sin'=\cos, \quad \cos'=-\sin, \quad \sin 0 = 0, \quad \cos 0 = 1$$

Como calentamiento, demostrar la identidad Pitagórica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. (Sugerencia: deje $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ y calcular el $f'$.) En particular, $|\sin x|\le 1$ e $|\cos x| \le 1$.

Ahora fix $a$ y considere la función $$g(x) = \sin(x+a) - \sin x \cos a - \cos x \sin a.$$ Calcular $g'$ e $g''$, y tenga en cuenta que $g'' = -g$. Compruebe que $g^{(n)}(0) = 0$ por cada $n$, y que $|g^{(n)}(x)| \le 3$ por cada $n,x$. Aplicar ahora del teorema de Taylor con resto de Lagrange (que en realidad es sólo una consecuencia del valor medio teorema) para limitar la diferencia de $|g(x) - p_n(x)|$, donde $p_n$ es el $n$th grado del polinomio de Taylor de $g$ centrada en 0. Pero $p_n=0$. Dejando $n \to \infty$ puede concluir $g \equiv 0$.

Para la identidad que involucra $\cos(x+a)$, considere la posibilidad de $g'$. Al menos las versiones puede realizarse de forma similar a través de la función de $h(x) = \sin(a-x) - \sin a\cos x + \cos a \sin x$, o mostrando por separado que $\sin$ es una función impar y $\cos$ es una función par.

Algunas variaciones:

• Si usted sabe acerca de las reales funciones analíticas, y usted sabe que $\sin x, \cos x,\sin(x+a)$ son reales analítica, entonces se realiza tan pronto como usted demuestra que $g^{(n)}=0$ por cada $n$.

• Si usted sabe acerca de la unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, a continuación, sólo tenga en cuenta que $g(0) = g'(0) = 0$ e $g'' = -g$.

Answer 3

Sólo para compartir mi idea. No voy a decir que mi prueba no implica la geometría.

Deje $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ e $B=(\cos\beta,\sin\beta)$. Entonces

$$AB^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta$$

Por otro lado,

$$AB^2=OA^2+OB^2-2(OA)(OB)\cos\angle AOB=1^2+1^2-2(1)(1)\cos(\alpha-\beta)$$

Esto demuestra que $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$. La prueba tiene por arbitraria $\alpha$ e $\beta$.

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$