¿Cuál es la diferencia entre un operador cero, una función cero, un escalar cero y un vector cero?

Question

Estoy bastante seguro de que un vector cero es sólo un vector de longitud cero con dirección, un escalar cero es sólo el número cero, y que una función cero es cualquier función que mapea a cero. Sin embargo, no estoy del todo seguro de qué es exactamente un operador cero.

Answer 1

El vector cero es un vector, es decir, un miembro de cualquier espacio vectorial se está considerando. Tiene la propiedad de que al añadirlo a cualquier vector $\bf v$ en el espacio vectorial deja $\bf v$ sin cambios.

El escalar cero es un escalar, es decir, un miembro del campo que forma parte de la definición del espacio vectorial (normalmente los números reales o complejos en un curso elemental de álgebra lineal). Tiene la propiedad de que al multiplicar cualquier vector $\bf v$ por ella da el vector cero del segundo espacio vectorial.

El operador cero es un operador lineal, es decir, un mapa lineal de un espacio vectorial a un espacio vectorial (posiblemente el mismo). Tiene la propiedad de que mapea cualquier miembro del primer espacio vectorial al vector cero en el segundo espacio vectorial.

El funcional cero es un funcional lineal, es decir, un mapa lineal de un espacio vectorial a los escalares. Tiene la propiedad de que mapea cualquier miembro del espacio vectorial al escalar cero.

Answer 2

En un contexto algebraico donde existe la noción de adición, $0$ es el elemento tal que
$$ x + 0 = x $$ por cada $x$ .

Si el contexto son los números reales, entonces $0$ es sólo un número. Si el contexto es el plano de coordenadas euclidianas, $0$ es el vector $(0,0)$ . Si el contexto es el conjunto de funciones de valor real sobre el intervalo unitario, entonces $0$ es la función cuyo valor en cada punto es $0$ . Si el contexto es el conjunto de operadores lineales de un espacio vectorial a otro, entonces $0$ es el operador cuyo valor en cada punto del dominio es el $0$ vector en el codominio.

Así que el significado del símbolo " $0$ "cambia en función del contexto. Eso es potencialmente confuso (y por eso haces la pregunta). La ventaja de usar el mismo símbolo en estos diferentes contextos es que es fácil asociar ese símbolo con su comportamiento: es la identidad aditiva.

Answer 3

Una respuesta pedante sería que esas diferencias no están definidas, ya que la resta requiere dos operandos del mismo tipo, y esos valores tienen todos tipos diferentes. Como buena costumbre, uno no empieza a considerar los valores en álgebra sin especificar primero el conjunto básico del que se toman, es decir, su tipo. En el álgebra lineal, los dos tipos más básicos son el campo de escalares (a menudo denotado por $F$ o $K$ ) y algún espacio de vectores sobre ese campo (a menudo denotado por $V$ o alguna letra similar), y existen varios mecanismos para formar nuevos conjuntos básicos, como productos cartesianos, matrices, conjuntos de funciones lineales $V\to W$ donde $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre $~F$ (posiblemente el mismo). Se supone que todos estos conjuntos básicos son disyuntiva de manera que cualquier valor pertenece como máximo a uno de ellos, cuyo conjunto da entonces el tipo de ese valor. Normalmente, estos conjuntos vienen equipados con un conjunto de operaciones; éstas sólo pueden aplicarse a los elementos de ese conjunto. Para complicar la descripción (pero simplificar la vida) las operaciones sobre diferentes conjuntos suelen llevar el mismo nombre, por ejemplo el símbolo ' $+$ puede utilizarse para la suma de escalares, vectores, matrices, mapas lineales y muchas cosas más; en informática esto se llama sobrecarga de operadores. Se supone que el lector debe resolver la ambigüedad comprobando los tipos de los argumentos dados a los operadores.

Se produce una complicación especial para el símbolo $0$ (y hasta cierto punto para otros símbolos como $\mathbf I$ ), que está sobrecargado en el mismo sentido: se refiere a diferentes valores especiales en cada tipo (en el álgebra lineal casi no hay ningún tipo que no tenga su propio valor $0$ ). En este sentido, puede verse como un operador sobrecargado sin (es decir, $0\in\Bbb N$ ). Esto plantea una dificultad obvia a la hora de deducir el significado previsto a partir de los tipos de los argumentos, por lo que en lugar de ello para ' $0$ ' debe ser de alguna otra manera estar claro por el contexto. Si se ve $0+x$ en una fórmula, por ejemplo, puede suponer que se trata del valor cero del mismo tipo que $x$ Pero en algunos casos el contexto puede ser realmente ambiguo; en ese caso es tarea del autor aclarar a qué tipo de "cero" se refiere. Pero en ningún caso se debe pretender que el escalar cero, el vector cero, una matriz cero, un mapa lineal cero sean la misma cosa; la distinción va incluso más allá, ya que los vectores cero de espacios vectoriales no relacionados, así como las matrices cero de diferentes dimensiones, no se suponen la misma cosa, aunque todos compartan el mismo nombre. (En la práctica no hay mucha dificultad para vivir con esta ambigüedad teórica, e incluso se podría mantener que escribir $0$ significa indicar que la expresión en ese lugar está dotada de la cualidad de "zerón", que suele regir completamente su comportamiento).