La prueba de un conjunto específico en$\mathbb R^2$ está cerrada.

Question

Estoy tratando de demostrar que el conjunto $A=\{(x,y)|x^2\leq y\}$ es cerrado en $\mathbb R^2$. Escribí una prueba, pero creo que el final es malo. Mi prueba es:

Consideremos el conjunto a$A=\{(x,y)|x^2\leq y\}$ en $\mathbb R^2$. Deje $(x_n,y_n)_{n \in \mathbb N}$ ser una secuencia en $A$ que converge a $(x,y) \in \mathbb R^2$. Por el de las componentes para el criterio de convergencia, $(x_n,y_n) \to (x,y)$ fib $x_n \to x$ e $y_n \to y$ como $n \to \infty$.

(De aquí en adelante, creo que es equivocado como yo realmente no sabía cómo proceder). Así, $x_n^2 \to x^2$ e $y_n \to y$ como $n \to \infty$. Desde $\forall n \in \mathbb N \ \ (x_n,y_n)\in A$, $x_n^2\leq y$ $\forall n\in \mathbb N$. Por lo tanto, al tomar el límite de $n \to \infty$ de ambos lados, $x^2\leq y$. Por lo tanto, $(x,y)\in A$ e lo $A$ es cerrado.

Answer 1

Su argumento parece bien, aunque un poco difícil de leer (si me permiten obtener nit-exigente, por supuesto, esto es una cuestión de estilo). He aquí una posible aclaración de su idea: ya que para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ tenemos que $(x_n,y_n) \in A$, a continuación, $x_n^2 \leq y_n$. Por lo tanto

$$ 0 \leq y_n-x_n^2 \quad (\forall n \geq 1). $$

Tomando límites cuando se $n \to \infty$ y el uso de convergencia de cada secuencia, tenemos que $0 \leq y-x^2$ (aquí usamos ese $t \mapsto t^2$ es continua). Por lo tanto vemos que $x^2 \leq y$, o lo que es equivalente, $(x,y) \in A$.

Answer 2

Dejemos $f: (x,y) \mapsto x^2-y$ , ahora podemos ver claramente que $A = f^{-1}[\mathbb R_-]$ . $f$ es continuo ya que es un polinomio.

Hemos demostrado que $A$ está cerrado, siendo la imagen inversa del conjunto cerrado $\mathbb R_-$ por la función continua $f$ .