¿Tricky integral? $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arccos(\sin x)dx$ Mi respuesta no coincide con una calculadora en línea

Question

Traté de calcular esta integral: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arccos(\sin x)dx$$ Mi resultado fue $\dfrac{{\pi}^2}{8}$, pero en realidad, según https://www.integral-calculator.com/, la respuesta es $-\dfrac{{\pi}^2}{8}$.

No tiene sentido para mí como el resultado de la integración es $$x\arccos\left(\sin x\right)+\dfrac{x^2}{2}+C$$ y después de la sustitución de $x$ con $\dfrac{{\pi}}{2}$ e $0$, el resultado es un número positivo.

Puede alguien explicar? Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, su resultado es correcto. Para $x\in[-1,1]$, $$\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x).$$ Por lo tanto $$\int_0^{\pi/2}\arccos(\sin(x))dx= \int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)dx=\int_0^{\pi/2}tdt=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{8}.$$

P. S. WA da el resultado correcto. Por otra parte $t\to \arccos(t)$ es positivo en $[-1,1)$ por lo que la integral dada tiene que ser POSITIVO!

Answer 2

Parece que estás usando integración por partes: \begin{alignat}{2} \int_0^{\pi/2}\arccos\sin x\,dx &=\Bigl[x\arccos\sin x\Bigr]_0^{\pi/2} &&+\int_0^{\pi/2} x\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2x}}\,dx \\[4px] &=0&&+\int_0^{\pi/2}x\,dx\\[4px] &=\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_0^{\pi/2}=\frac{\pi^2}{8} \end{alignat}

Sin embargo, tenga en cuenta que no es del todo correcto decir que la antiderivada es como se escribe, porque en general $$ \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{\cos x}{\lvert\cos x\rvert} $$

De hecho, si usted diferenciar $f(x)=\arccos\sin x$, $$ f'(x)=\frac{\cos x}{\lvert\cos x\rvert}= \begin{cases} 1 & -\pi/2+2k\pi < x < \pi/2+2k\pi \\[6px] -1 & \pi/2+2k\pi < x < 3\pi/2+2k\pi \end{casos} $$ Por lo tanto $$ f(x)= \begin{cases} a_{k} + x & -\pi/2+2k\pi \le x \le \pi/2+2k\pi \\[6px] b_{k} - x & \pi/2+2k\pi \le x \le 3\pi/2+2k\pi \end{casos} $$ donde las constantes son elegidos de modo que la función es continua.

Answer 3

Esencialmente la misma idea de la otra respuesta, pero el uso de los covs $x = t + \pi/2$, $t = -s$ y la uniformidad de la $\cos$: $$ \int_0^{\frac{\pi}2}\arccos(\sin(x))dx = \int_{-\frac{\pi}2}^0\arccos(\sin(t + \pi/2))dt = \int_{-\frac{\pi}2}^0\arccos(\cos(t))dt = $$ $$ \int_0^{\frac{\pi}2}(\arccos(\cos(-s))ds = \int_0^{\frac{\pi}2}(\arccos(\cos(s))ds = \int_0^{\frac{\pi}2}\, ds= \frac{\pi^2}8. $$

Answer 4

Solución alternativa,

\begin{align}J&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arccos(\sin(x))dx\end{align}

Realice el cambio de variable $y=\dfrac{\pi}{2}-x$ ,

\begin{align}J&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arccos(\cos(x))dx\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\,dx\\ &=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\boxed{\frac{\pi^2}{8}} \end{align}

Answer 5

Un geométricas argumento podría ser el uso de la identidad: $\arccos x=\pi/2-\arcsin x$. Esto le da a usted $\pi/2-x$ como el integrando. Si usted observa cuidadosamente esta es una recta con $x$ e $y$- intercepta en $\pi/2$.

Desde la Integración da el área bajo la curva, en el cálculo de la integral es simplemente transformado para el cálculo del área del triángulo

$$I=\int_{0}^{\pi/2}\arccos(\sin x)\mathrm dx=\int_{0}^{\pi/2}(\pi/2-x)\mathrm dx=\dfrac{1}{2}\cdot \underbrace{\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}}_{\text{base}\cdot\text{height}}=\dfrac{\pi^2}{8}$$