Lo que intuitivamente es el dual de Hodge de un $p$ -¿forma?

Question

Carroll en su libro de texto "Spacetime and geometry" define el Hodge dual de un $p$ -forma $A$ en un $n$ -como $$(\star A)_{\mu_1...\mu_{n-p}}=\dfrac{1}{p!}\epsilon^{\nu_1...\nu_p} _{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mu_1...\mu_{n-p}}A_{\nu_1...\nu_p}.$$ Aunque esto es bastante sencillo, me parece que me falta comprensión intuitiva/geométrica de esto. ¿Qué significa realmente el dual?

Answer 1

Hay una forma sencilla de visualizar las formas diferenciales que ayuda en este caso.

Una de las propiedades más importantes del diferencial $p$ -es que son tensores que pueden integrarse de forma natural sobre un $p$ -submanifold de una dimensión. El ejemplo más sencillo es una forma única, que se puede integrar sobre una curva unidimensional $C$ , $$\int_C A = \int A_\mu dx^\mu.$$ A diferencia de la integración de un vector, $$\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x}$$ esta integral no requiere ninguna métrica para ser definida. De forma similar, una dos formas puede integrarse de forma natural sobre una superficie, por ejemplo $$\int_S F = \int F_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ podría interpretarse como un flujo magnético si la superficie es espacial.

Esto nos lleva directamente a la interpretación geométrica de las formas diferenciales. La visualización familiar de una forma única es un conjunto de hipersuperficies, es decir, submanifolds de codimensión uno. Del mismo modo, las dos formas pueden interpretarse como submanifolds de codimensión dos, y así sucesivamente. En tres dimensiones, una forma única es un conjunto de planos, una forma doble es un conjunto de líneas y una forma triple es un conjunto de puntos.

Puedes contar fácilmente el número de planos que atraviesa una curva, el número de líneas que interseca una superficie y el número de puntos que contiene un volumen. Estas son las interpretaciones geométricas de las integrales de una, dos y tres formas sobre curvas, superficies y volúmenes. (Lo principal que falta en esta imagen es el signo; también deberías pensar que las superficies, etc. vienen con orientaciones, aunque eso es más difícil de dibujar).

El producto cuña puede interpretarse como la intersección geométrica de las formas diferenciales implicadas. Por ejemplo, el producto cuña de dos formas únicas en 3D es un conjunto de intersecciones de superficies, que es un conjunto de curvas, es decir, una forma doble.

La interpretación del dual de Hodge, que se define explícitamente a través de la métrica, es que es el "complemento ortogonal" de una forma diferencial. El dual de una forma única en 3D es un conjunto de curvas perpendiculares a los planos de la forma única original, de modo que las densidades locales de las superficies en ambas son proporcionales.

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Para completar, he aquí algunos datos más.

En primer lugar, la derivada exterior $d$ corresponde a tomar los límites de las superficies asociadas a una diferencial $p$ -forma. Por eso $d^2 = 0$ es sólo el principio habitual de "el límite de un límite es cero", y por qué una forma diferencial cerrada se aniquila por $d$ su visualización es en términos de superficies cerradas.

En segundo lugar, también se puede interpretar la contracción de un $p$ -con un $(p, 0)$ tensor antisimétrico geométricamente. A $(p, 0)$ tensor antisimétrico se llama $p$ -y se construye como el producto antisimétrico de $p$ vectores. Se puede interpretar como el $p$ -correspondiente al paralelepípedo atravesado por los vectores; por ejemplo, el $dx^\mu dx^\nu$ arriba es un $2$ -cuchilla que es un pequeño cuadrado en coordenadas cartesianas.

En tercer lugar, mi interpretación no es la más común. La mayoría de los libros tratan $p$ -de la misma manera que $p$ -cuchillas, es decir, como elementos de pequeño volumen. Este es el punto de vista expuesto en las otras tres respuestas a esta pregunta. Es un poco más sencillo, pero para utilizarlo hay que usar explícitamente la métrica para convertir las formas en aspas. Mi interpretación no hace más que generalizar la intuición que se suele dar para $1$ -como familias de hipersuperficies, sin necesidad de utilizar la métrica para modificar el objeto.

Answer 2

El $\epsilon$ es (proporcional a) la "forma de volumen" de rango completo, que puedes considerar como una pequeña caja de dimensión completa situada en cada punto de tu colector. (Obsérvese que ésta es una imagen intuitiva diferente de la igualmente válida utilizada en la respuesta de Knzhou). Cada índice corresponde a una dirección diferente, o a un borde de la caja que sale de una esquina concreta. Contrayendo el $\epsilon$ con un símbolo $p$ -definida en un $p$ -submanifiesto dimensional "colapsa" el $p$ bordes de la caja que corren paralelos al submanifold, lo que deja una caja de menor dimensión abarcada por el $n-p$ resto de aristas, que son claramente todas perpendiculares a la $p$ bordes que se colapsaron. (Nótese que al utilizar la noción de "perpendicular", se está utilizando implícitamente la métrica, que está oculta dentro de la firma mixta del $\epsilon$ en la ecuación que has escrito arriba). Eso motiva que el dual de Hodge de un $p$ -forma es un $n-p$ y también por qué es el "complemento ortogonal" local, punto por punto, de la forma original, como explicó Knzhou.

Answer 3

No sé si esto es demasiado básico para ti, pero piensa en el electromagnetismo de primer nivel, donde para definir el flujo asociamos un vector de área con una pequeña superficie. El área se describiría más naturalmente por dos vectores, $u$ y $v$ que se encuentran en su plano, de manera que el paralelogramo que abarcan tiene el área de la que hablamos. Cuando representamos esta área en su lugar por un solo vector $a$ perpendicular a la superficie, estamos tomando el dual de Hodge del tensor de rango 2 $u^av^b$ . Esto funciona en tres dimensiones porque 1+2=3, por lo que la estrella de Hodge convierte un tensor de rango 2 en un tensor de rango 1.

Answer 4

Si piensa en un hoja como un subespacio junto con un número real, entonces el dual de Hodge es el subespacio dual junto con el mismo número real.