Probabilidad de que$\displaystyle \vert x\vert +\vert y\vert +\vert z\vert +\vert x+y+z\vert=\vert x+y\vert +\vert x+z\vert +\vert y+z\vert$

Question

Los números reales $x, y$, e $z$ son elegidos entre el intervalo de $[−1, 1]$ independiente y uniformemente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que $$\vert x\vert +\vert y\vert +\vert z\vert +\vert x+y+z\vert=\vert x+y\vert +\vert x+z\vert +\vert y+z\vert$$

Ahora bien, si todos los de $x, y, z$ son positivos o todos negativos, entonces la ecuación es, por supuesto, satisfecho. Por lo tanto, si consideramos un espacio 3D , denota dos unidades de cubos, uno en el primer octante centrado en $\left( \frac 12,\frac 12,\frac 12\right)$ y la otra en el séptimo octante centrado en $\left( -\frac 12,-\frac 12,-\frac 12\right)$.

El total de la medida del conjunto universal es el cubo con la longitud de la arista $2$ centrada en el origen.

Pero ahora tengo un problema acerca de lo que si dos de $x, y, z$ son positivos, mientras que los restantes sean negativos o de la otra manera alrededor. Incluso si trato de hacer de los casos parece ser una tarea engorrosa para enfoque, ya que también tendremos que comprobar los signos de $\vert x+y\vert$ y, de forma similar a los demás, así como la de $\vert x+y+z\vert $

También he pensado en dar un tiro con vectores, pero no llegar a ningún resultado concreto.

Cualquier ayuda sería muy beneficioso.

Editar:

Yo también estaría feliz de ver a un geométrica intuitiva manera de atacar el problema.

Answer 1

Supongamos $x$ e $y$ son positivos y considerar los posibles valores de $z$. Debido a $|x|+|y|=|x+y|$ aquí, queremos que la ecuación $$ |z| + |x+y+z| = |x+z| + |y+z| $$ para celebrar.

Suponga $x \le y$; en este caso, tenemos $z \le x+z \le y+z \le x+y+z$, y por lo que podemos considerar cinco posibilidades basadas en las cuales de estos son positivos.

1. $0 \le z \le x+z \le y+z \le x+y+z$. Entonces la ecuación se tiene. Ya sabes que este caso.
2. $z \le 0 \le x+z \le y+z \le x+y+z$. Entonces la ecuación se simplifica a $x+y=x+y+2z$, que tiene probabilidad de $0$.
3. $z \le x+z \le 0 \le y+z \le x+y+z$. Entonces la ecuación se simplifica a $x+y=y-x$, que tiene probabilidad de $0$.
4. $z \le x+z \le y+z \le 0 \le x+y+z$. Entonces la ecuación se simplifica a $x+y = -x-y-2z$, que tiene probabilidad de $0$.
5. $z \le x+z \le y+z \le x+y+z \le 0$. Entonces la ecuación se tiene. Este caso es nuevo.

Lo mismo ocurre cuando la $x \ge y$, por lo que no deben considerarse por separado.

Así vemos que cuando la $x$ e $y$ son positivos, queremos que cualquiera de las $z$ a ser positivo, o queremos $x+y+z$ a ser negativo.

Por simetría, esto cubre todas las posibilidades. La ecuación tiene cuando:

• Todos los tres de $x,y,z$ son positivos;
• Dos de $x,y,z$ son positivos, pero $x+y+z$ es negativo;
• Dos de $x,y,z$ son negativos, sino $x+y+z$ es positivo;
• Todos los tres de $x,y,z$ son negativos.

Las regiones en el interior de $[-1,1]^3$ donde éstos tienen de volumen, respectivamente:

• $1$ (es un cubo de lado de longitud $1$);
• $\frac12$ (tres pirámides que forman una esquina de un cubo con $\frac16$ del volumen);
• $\frac12$;
• $1$.

De modo que el volumen total $3$ (de $8$), de manera que la ecuación tiene con probabilidad de $\frac38$.

Answer 2

Una simulación que utiliza el software estadístico R, para los interesados, está de acuerdo con la respuesta teórica.

 > x<-runif(10^7,-1,1)
> y<-runif(10^7,-1,1)
> z<-runif(10^7,-1,1)
> mean(abs(x)+abs(y)+abs(z)+abs(x+y+z)==abs(x+y)+abs(x+z)+abs(y+z))
[1] 0.3749906