¿Una secuencia creciente de reales converge si la diferencia de términos consecutivos se aproxima a cero?

Question

Si $a_n$ es una secuencia tal que $$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq ...$$

y tiene la propiedad de que $\space$$a_{n+1}-a_n \longrightarrow 0$,

Entonces podemos concluir que $a_n$ es convergente?

$$\space$$ Sé que sin la condición de que la sucesión es creciente, esto no es cierto, como se podría pensar en la secuencia dada en esta respuesta a una pregunta similar que no requiere que la secuencia de aumento: $\space$ https://math.stackexchange.com/a/1437395/625467

$0, 1, \frac12, 0, \frac13, \frac23, 1, \frac34, \frac12, \frac14, 0, \frac15, \frac25, \frac35, \frac45, 1...$

Este oscila entre $0$ e $1$, mientras que la diferencia de términos consecutivos enfoques $0$ , ya que la diferencia es siempre de la forma $\pm\frac1m$ e $m$ aumenta la más que ir en esta secuencia.

Entonces, ¿cómo podemos utilizar la condición de que $a_n$ es el aumento de mostrar que $a_n$ debe converger? O es que esto todavía no es suficiente?

Answer 1

Una manera fácil de visualizar por qué esto no puede ser verdad, es tratar de poner algunos puntos en una recta numérica.

Empezar con 1 punto en [0, 1):

2 puntos en [1, 2):

Y así sucesivamente:

Ahora usted tiene una secuencia que crece hasta el infinito, pero se mantiene cada vez más cerca.

Answer 2

No. Solo considere el caso en el que $a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$ . Tenga en cuenta que entonces tendríamos $$\lim_{n\to\infty}a_{n+1}-a_n=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0.$ $

Answer 3

Cualquier aumento de la secuencia de $\{a_n\}_{n\geq 1}$ tiene límite en a$\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. Es $\sup_{n\geq 1} a_n$. Tal $\sup$ o supremum puede ser un número finito o $+\infty$ (incluso si sabemos que $a_{n+1}-a_n\to 0$).

Un ejemplo con un límite finito es $a_n=1-1/n\to 1$ e $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n(n+1)}\to 0$.

Por otro lado $a_n=\sqrt{n}\to +\infty$ e $a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to 0$.

Así, la respuesta es NO, la condición de $a_{n+1}-a_n\to 0$ no es suficiente para un aumento de la secuencia de $\{a_n\}_{n\geq 1}$ tener un límite FINITO.

Answer 4

Otro contraejemplo es $a_n=\ln n$ , para $n\geq1$ . La diferencia de los términos sucesivos es $\ln(n+1)-\ln n = \ln (1+1/n) \rightarrow \ln 1 = 0$ , como $n \rightarrow \infty$ , sin embargo, $\ln n$ en sí tiende a infinito, como $n$ tiende a infinito.

Answer 5

No. Considera la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ dada por

• $a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ .

Resulta que

• $a_n > a_{n-1}$
• $a_n - a_{n-1} = \frac{1}{n} \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ , pero
• $a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \rightarrow \infty$ como $n \rightarrow \infty$ (por ejemplo, prueba integral).