¿Son ortogonales los subespacios disjuntos con vectores ortogonales?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial euclidiano y $U,W$ subespacios con $U\cap W = \{0\}$ , $U+W = V$ y $u \perp w$ para todos $(u,w) \in U \times W$ . ¿Implica esto que $U^\perp = W$ y $W^\perp = U$ ?

Obviamente, $W \subseteq U^\perp$ y $U \subseteq W^\perp$ Pero la otra inclusión no me queda clara. Parece plausible en $\mathbb{R}^n$ pero sospecho que esto fallará para algunos $V$ con $\dim V = \infty$ pero no se me ocurre un buen contraejemplo.

Answer 1

Dejemos que $x\in U^\perp $ . Tenemos $x=u+w $ con $u\in U $ , $w\in W $ . Entonces $$ 0=\langle u,x\rangle=\langle u,u\rangle +\langle u,w\rangle =\langle u,u\rangle . $$ Así que $u=0$ y $x=w\in W $ .